Лабораторная работа № 7. Непараметрическая идентификация

Динамических объектов

 

Цель работы: освоить методы непараметрической идентификации систем, и пакет подгонки кривых Curve Fitting Toolbox системы MatLab.

 

7.1 Постановка задачи

Непараметрическая модель определяется в общем случае непрерывной функцией, но она может быть задана точками или в виде разложения в ряд по какой-либо системе функций. Специфика линейного динамического объекта однозначно определяется его реакцией на единичное импульсное воздействие. Это обстоятельство и лежит в основе определения непараметрической модели, которая характеризуется импульсной (весовой) переходной функцией.

При идентификации линейного стационарного динамического объекта статистическими методами весовая функция определяется из уравнения Винера-Хопфа

. (7.1)

Один из способов его решения – численный. Суть численного метода заключается в возможности представления этого уравнения системой линейных алгебраических уравнений. Для этого заменим интеграл конечной суммой

здесь ∆ - интервал дискретизации;

n∆ - дискретное время;

N – количество интервалов.

Это уравнение справедливо для τ = ∆, …, N∆.

Подставляя в это уравнение N значений τ, получим систему из N уравнений. Это система для определения значений импульсной переходной функции в дискретные моменты ∆, …, N∆.

Итак, получаем систему уравнений

Ag = b (7.2)

где А – квадратная матрица;

b = [b₁, b₂,…,b_m]^T - вектор-столбец с компонентами b_i=R_yx(τ)/∆, i = 1,...,m;

g = [g₁, g₂,…,g_m]^T – вектор-столбец искомых значений импульсной переходной функции.

Решение этой системы позволяет определить дискретные значения ординат весовой функции g(τ) в точках t, 2t,…, mt. Эти решения получаются с большими погрешностями, так как вместо истинных значений корреляционных функций используются их оценки, а сама система плохо обусловлена. Хотя полученные значения импульсных переходных функций имеют малую среднеквадратичную ошибку, близкую к минимуму, ценность их невелика, так как эти функции не соответствуют физическому смыслу процессов в объекте. Физический смысл имеют гладкие решения. Поэтому используются различные процедуры сглаживания импульсной переходной функции.

7.2 Аппроксимация дискретной импульсной переходной функции

Для получения сглаженных импульсных переходных функций, используется процедура приближения значений этой функции с помощью какого-либо аппроксимирующего полинома. Чаще всего используется разложение по какой-либо системе ортогональных полиномов

где φ_k(t) – заданная система функции;

N – порядок разложения;

a_k – коэффициенты ряда, которые вычисляются по формуле

.

Функции разложения выбираются таким образом, чтобы достичь хорошего приближения при небольшом их числе. Целесообразно выбирать ортогональные функции, преобразуемые по Лапласу (полиномы Чебышева, Лагерра, Лежандра).

 

7.3 Пакет подгонки кривых Curve Fitting Toolbox

Пакет подгонки кривых Curve Fitting Toolbox обеспечивает под­гонку кривых с использованием метода наименьших квадратов. Работу с пакетом надо начинать с загрузки данных. Данные могут быть сформированы в командном окне системы в соответствующих векторах.

Основное окно пакета Curve Fitting Tool открывается командой cftool (в командном окне MatLab). Вначале оно имеет пустое окно графики и 4 кнопки над ним: Data... - загрузка данных; Fitting... - выполнение подгонки; Ploting... - графическая визуализация подгонки; Analysis... - анализ результатов подгонки.

Импорт данных. Обычно работа с окном Curve Fitting Tool начинается с уточнения типа загру­жаемых данных, для чего необходимо активизировать кнопку Data.... Это ведет к появлению окна импорта данных Data. В этом окне с помощью соответствующих вкладок можно уста­новить тип множеств данных, просмотреть их, скорректировать и сгладить. Нажа­тие кнопки Apply и закрытие окна приводит к загрузке скорректированных дан­ных в основное окно Curve Fitting Tool. В результате точки данных появляются в поле графики этого окна.

Выполнение подгонки заданного типа. Выбор кнопок Fitting/New Fit позволяет начать процедуру подгонки.

Открывающийся список Type of fit позволяет устано­вить любой из следующих типов подгонки (регрессии):

- Custom equations — функция регрессии, задаваемая пользователем;

- Exponential — экспоненциальная репрессия;

- Fourier — приближение рядом Фурье;

- Gaussian — приближение кривой гауссиана;

- interpolant — интерполяция с выбором метода;

- Polynomial — полиномиальная регрессия;

- Power — степенная регрессия;

- Rational — регрессия рациональной функцией с выбором ее числителя и знаменателя;

- Smoothing Spline — регрессия сглаживающими сплайнами;

- Sum of Sin Func — регрессия суммой синусоидальных функций;

- Weibull — регрессия кривой Вейбулла.

Как видно из этого перечисления, представлен внушительный набор возмож­ных видов приближений. Особенно важно, что среди них есть воз­можность задания пользователем функции регрессии любого вида, разумеется, на основе встроенных функций MatLab.

Если нажать кнопку Fit Options... окна подгонки Fitting, можно задать ряда опций подгонки. В окне опций подгонки возможна установка различных алгоритмов подгонки, пределов изменения производных, максимального значе­ния функции и начальных значений параметров регрессии. Все эти величины су­щественно влияют на сходимость и скорость подгонки.

Графическая визуализация регрессии. Кнопка Plotting... окна Curve Fitting Tool открывает окно установок графики.

Анализрезультатов регрессии. Важным этапом приближения является анализ результатов. Он проводится при активизации кнопки Analysis... окна Curve Fitting Tool. При этом открывается окно анализа Analysis. В левой части окна имеет­ся ряд опций анализа: выполнения вычислений, вы­вода графиков производных и интеграла для функции регрессии и др. Нужные опции задаются установкой знака птички у их названия. После этого нажатие кнопки Apply формирует таблицу результатов анализа сверху окна и выводит окно с графическим представлением результатов анализа.

Основным критерием выбора кривой регрессии является минимум погрешно­сти Residuals в заданном диапазоне изменения аргумента, отсутствие резких вы­бросов кривой погрешности на краях этого диапазона или в отдельных его облас­тях и т. д. Нередко важным является соответствие кривой регрессии воз­можному закону расположения точек исходных данных. Рекомендуется опробовать несколько кривых регрессии для заданного набора точек.

 

7.4 Задание на лабораторную работу

Зарегистрированы входные и выходные переменные исследуемого объекта в течение определенного интервала времени. По результатам этих измерений вычислены автокорреляционная и взаимнокорреляционная функции (см. таблицу вариантов). Требуется определить численным методом из уравнения Винера-Хопфа импульсную переходную функцию. Затем полученные дискретные значения этой функции следует аппроксимировать полиномами различных порядков и выбрать наилучшую степень аппроксимации.

 

7.5 Порядок выполнения работы

7.5.1 Записать систему линейных алгебраических уравнений (7.2) для своего варианта.

7.5.2 Решить систему (7.2), используя командное окно системы MatLab:

- введите компоненты матрицы A и вектора b в командное окно системы;

- проверьте существование решения системы (7.2), набрав в командной строке det(A); как известно, для существования решения необходимо, чтобы det(A) ≠ 0;

- получите решение системы, применив процедуру g = b*inv(A).

7.5.3 Используя пакет Curve Fitting Tool, выполните аппроксимацию полученных дискретных значений полиномами различных порядков. Для задания своего уравнения регрессии в списке видов регрессии надо вы­брать позицию Custom equations. Это приводит к появлению окна задания регрес­сии Create Custom Equations. Это окно имеет две вкладки. На первой вкладке Linear Equations можно задать параметры уравнения, линейного отно­сительно коэффициентов регрессии. За­метим, что сама зависимость при этом может быть нелинейной. На другой вкладке General Equations можно установить произвольное нели­нейное уравнение регрессии, т. е. осуще­ствить нелинейную регрессию.

7.5.4 Завершив подгонку, выведите графики исходных то­чек, кривых приближения и погрешностей.

7.5.5 Выберите полином, который наилучшим образом аппроксимирует импульсную весовую функцию.

7.6 Требования к отчету

Отчет по работе должен содержать:

- систему алгебраических уравнений для определения дискретных значений импульсной переходной функции;

- результат решения этой системы;

- результаты подгонки;

- обоснованный выбор наилучшего аппроксимирующего полинома.

7.7 Варианты заданий

Вариант 1	t, мин								∞
	Rx(t)		0,37	0,16	0,05	0,02	0,01	0,005
	Rxy(t)	0,1788	0,4729	0,3866	0,2565	0,1454	0,06	0,03
Вариант 2	t, мин								∞
	Rx(t)		0,47	0,2	0,1	0,05	0,01	0,005
	Rxy(t)	0,2376	0,5128	0,1343	0,2848	0,155	0,003	0,003
Вариант 3	t, мин								∞
	Rx(t)		0,53	0,26	0,15	0,1	0,02	0,003
	Rxy(t)	0.3049	0.5792	0.5575	0.4152	0.2176	0,002	0,002
Вариант 4	t, мин								∞
	Rx(t)		0,5	0,3	0,2	0,09	0,03	0,003
	Rxy(t)	0.3978	0.7428	0.7030	0.5960	0.3200	0,001	0,001
Вариант 5	t, мин								∞
	Rx(t)		0,52	0,28	0,18	0,1	0,02	0,005
	Rxy(t)	0.4872	0.9122	0.8998	0.7320	0.4088	0,002	0,002
Вариант 6	t, мин								∞
	Rx(t)		0,46	0,22	0,12	0,1	0,03	0,004
	Rxy(t)	0.3825	0.8008	0.7846	0.6214	0.3794	0,001	0,002
Вариант 7	t, мин								∞
	Rx(t)		0,38	0,19	0,04	0,02	0,01	0,005
	Rxy(t)	0.1735	0.4398	0.3637	0.2415	0.1026	0,003	0,002
Вариант 8	t, мин								∞
	Rx(t)		0,45	0,2	0,1	0,05	0,01	0,004
	Rxy(t)	0.2531	0.5655	0.5020	0.3365	0.1445	0,003	0,002
Вариант 9	t, мин								∞
	Rx(t)		0,39	0,19	0,06	0,01	0,001	0,0001
	Rxy(t)	0.2428	0.6008	0.5659	0.4181	0.1166	0,0005	0,003
Вариант 10	t, мин								∞
	Rx(t)		0,35	0,18	0,05	0,02	0,01	0,005
	Rxy(t)	0.2495	0.6569	0.5835	0.3389	0.1058	0,002	0,003

7.8 Контрольные вопросы

7.8.1 В чем суть непараметрической идентификации?

7.8.2 Какие объекты описывает уравнение Винера-Хопфа,

7.8.3 Почему возможно представить уравнение Винера-Хопфа системой

алгебраических уравнений?

7.8.4 Что такое аппроксимация функции?

7.8.5 Объясните назначение пакета Curve Fitting Tool.

7.8.6 Какая из функций дает лучшие результаты приближения?

 

Список литературы

1. Дейч А.М Методы идентификации динамических объектов.-

М.: Энергия, 1979.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1991.

3. Лазарев Ю. MatLab 5.x. – Киев: «Ирина», BHV, 2000.

4. Дьяконов В. П. MatLab 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. –

М.: Солон-ПРЕСС, 2004.

5. Matlab 6.5 SP1/7.06. Simulink 5/6 в математике и моделировании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005.

6. Ибраева Л.К.Основные приемы работы в среде Matlab. Методический практикум. – Алматы: АИЭС, 2004.

7. www.exponenta.ru

8. www.matlab.ru

 

Доп.план 2007 г., поз. 38

 

Лида Куандыковна Ибраева