Числовая величина, значение которой зависит от случая, характеризуемая множеством возможных значений и распределением вероятностей на нем задаваемых функций распределения называется случайной.

Для того чтобы охарактеризовать случайную величину x, необходимо задать как множество ее возможных значений x_i, так и их вероятностей:

P(x_i)=P_i.

Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятности случайной величины, которую называют ФРВСВ.

ФРВСВ величины Х называется функция F(X), равная вероятности того, что случайная х примет значение: X<x.

F(x)=P(X<x)

Свойства этой функции:

F(x) – это неубывающая функция, т.е. F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ ≥ x₁;

lim F(x) = 0 при x→- ∞;

lim F(x) = 1 при x→+ ∞;

F(x₂)- F(x₁)=P(x₂≤X≤ x₁).

Случайные величины делятся на:

– дискретные;

– непрерывные;

– смешанные.

а.

б.

в.

Рис. 4.Функции распределения случайной величины

А –непрерывная; б – ступенчатая; в – кусочно-непрерывная

Плотность распределения случайной величины x

Свойства этой функции:

-не отрицательное, т.е.

Математическое ожидание, медиана, мода дисперсия

Функция распределения является полной характеристикой случайной величины. В числовых расчетах необходимо указывать параметры, характеризующие отдельные стороны случайной величины, к ним относятся медиана, мода, математическое ожидание, дисперсия.

- дискретная величина;

- непрерывная величина;

- смешанная величина.

Медиана – это такое значение случайной величины X, при котором

Для непрерывной случайной величины:

Или

.

Для дискретной величины медиана не определяется.

Модой называется такое значение случайной величины, для которой в случае непрерывного распределения плотность вероятности F(M₀) имеет наибольшее значение.

В случае дискретного значения max значение приобретает вероятность.

Если такое значение случайной величины единственное, то распределение называется одномодальным, если много, то многомодальным.

Рис.5. Антимодальное распределение

Если фиксируется min, то такое распределение называется антимодальным (рис.5).

Важными характеристиками случайной величины являются моменты.

, где M-математическое ожидание;

-момент катого порядка.

Центральный момент k-го порядка случайной величины равен математическому ожиданию k-той степени центрированной случайной. величины.

Центральный момент 2-го порядка получил наибольшее распространение и называется дисперсией:

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины X относительно ее математического ожидания.

На практике рассеивание характеризуют средним квадратичным отклонением.

Статистические оценки

Генеральная совокупность – это множество, включающее все однородные продукты (станки, автоматы).