Природа виникнення електрорушійної сили Холла та її зв’язок з типом і концентрацією основних носіїв заряду В напівпровідниках з домішковою провідністю

 

Ефект Холла є одним з гальваномагнітних ефектів, котрий являє собою виникнення в провіднику або у напівпровіднику поперечного електричного поля Е _Н, спрямованого перпендикулярно до струму густиною J, що тече вздовж зразка, а також до магнітного поля з індукцією В, пронизуючого цей зразок у другому перпендикулярному до Е _Н і J напрямку. Вказане поперечне електричне поле Е _Н називається полем Холла і у лівогвинтовій прямокутній системі координат воно пов’язане з J і В емпірично встановленим співвідношенням

 

Е _Н = - R_H [ JВ ], (2.1)

 

де - R_H – стала (або коефіцієнт) Холла, що залежить від типу, концентрації та механізму розсіювання основних носіїв заряду і у інтернаціональній системі одиниць виміру має розмірність м³/Кл.

 

На рисунку 2.1 схематично зображено явище ефекту Холла у однорідних прямокутних напівпровідникових зразках n -типу і р -типу провідності, легованих відповідно донорною і акцепторною домішками. Як видно з цього рисунку, між так званими холловими гранями зразка з розмірами l і t при виникненні ефекту Холла у відсутності струму вздовж осі 0 у з’являється електрорушійна сила (ЕРС) Холла U_H, модуль якої є пов’язаним з модулем напруженості поля Холла співвідношенням

 

(2.2)

 

 

Рисунок 2.1 – Явище ефекту Холла у однорідних прямокутних напівпровідникових зразках n -типу і р -типу провідності, легованих відповідно донорною і акцепторною домішками

 

Це дає змогу, користуючись відповідними геометричними розмірами досліджуваного зразка, а також експериментальними значеннями індукції магнітного поля і струму I у зразку, за експериментально вимірюваною величиною ЕРС Холла розраховувати сталу Холла.

Дійсно, за умови

 

Е _Н ^ J ^ В (2.3)

 

співвідношення (2.1) зводиться до

 

, (2.4)

 

де

, (2.5)

 

а визначається за формулою (2.2). Таким чином, з системи рівнянь (2.2), (2.4) і (2.5) випливає, що

 

(2.6)

 

Для з’ясування можливості визначення типу і концентрації основних носіїв заряду за розрахованим значенням R_H встановимо зв’язок між полем Холла і силою Лоренца F _L, завдяки дії якої на основні носії заряду це поле виникає [4]. Якщо не враховувати відмінність швидкостей окремих носіїв заряду від їх середньої швидкості, то для усіх них величина F _L може бути розрахованою за формулою

 

F _L = q [ vB ], (2.7)

 

де q – заряд носіїв, v – їх дрейфова швидкість.

 

Оскільки

 

v = J, (2.8)

 

де N – концентрація основних носіїв заряду,

 

то після підстановки (2.8) у (2.7) формула (2.7) перетворюється у

 

F _L = [ JB ] (2.9)

 

З формули (2.9) видно, що напрямок дії сили Лоренца не залежить від знаку носіїв заряду, тобто як на електрони, так і на дірки у напівпровіднику вона діє в одну і ту ж сторону. Останнє означає, що в залежності від типу провідності напівпровідника полярність ЕРС Холла при незмінних напрямках векторів J і B має бути різною (дивись рисунок 2.1). При цьому корисно пам’ятати мнемонічне правило лівої руки, згідно до якого напрямок дії сили Лоренца вказує відігнутий на 90^о великий палець лівої руки коли чотири останні пальці цієї руки зорієнтовані у напрямку протікання струму, а вектор індукції магнітного поля входить у долоню перпендикулярно до неї.

З формули (2.9) випливає, що

 

[ JB ] = N F _L (2.10)

 

Порівнюючи (2.10) з (2.1) легко встановити, що

 

Е _Н = - R_HN F _L (2.11)

 

Поряд з цим слід взяти до уваги, що при встановленні стаціонарного стану через деякий час після увімкнення магнітного поля рівнодіюча сили холлового поля і сили Лоренца, котрі одночасно відчуваються основними носіями заряду, дорівнює нулю. Тобто

 

q Е _Н + F _L = 0, (2.12)

звідки випливає, що

 

Е _Н = F _L (2.13)

 

По-перше, це співвідношення є, так би мовити, ще одним ключем поряд зі співвідношенням (2.9) до визначення типу основних носіїв заряду у досліджуваному напівпровідниковому матеріалі. А саме, як видно з (2.13):

 

при q < 0 (основні носії заряду електрони – n -тип провідності) Е _Н­­ F _L (2.14)

 

при q > 0 (основні носії заряду дірки – р -тип провідності) Е _Н¯­ F _L (2.15)

 

По-друге, співвідношення (2.13) і співвідношення (2.11) дозволяють отримати формулу, яка пов’язує сталу Холла з типом і концентрацією основних носіїв заряду. Дійсно, після підстановки правої частини (2.13) замість Е _Н у співвідношення (2.11) отримуємо

 

(2.16)

 

У випадку напівпровідника n -типу q = - e і N = n, а тому

 

(2.17)

 

У випадку напівпровідника р -типу q = e і N = р, а тому

 

(2.18)

 

Між тим, як показано, наприклад, у [4], при урахуванні розподілу основних носіїв заряду за швидкостями і залежності часу релаксації від їх енергії співвідношення (2.16), (2.17) і (2.18) мають бути скорегованими таким чином

 

, (2.19)

 

, (2.20)

 

, (2.21)

 

де r_H – безрозмірний коефіцієнт, котрий зветься холл-фактором.

 

Згідно до теоретичних розрахунків чисельне значення холл-фактору залежить від індукції магнітного поля, дрейфової рухомості μ й концентрації основних носіїв заряду, а також від механізму їхнього розсіювання. Дані про кількісний зв’язок r_H з переліченими вище показниками наведено у таблиці 2.1.

Таким чином, якщо за результатами відповідних експериментальних вимірів встановлено значення R_H і відомий механізм розсіювання основних носіїв заряду, то за співвідношеннями (2.14) і (2.15) легко ідентифікувати їх тип, а співвідношення (2.20) і (2.21) дають змогу розрахувати їх концентрацію за формулами

 

, (2.22)

 

(2.23)

 

 

Таблиця 2.1 – Залежність холл-фактору r_H від умов виміру ЕРС Холла і природи напівпровідникового матеріалу [4]

 

Природа напівпровідника

Невироджений напівпровідник

Вироджений напівпровідник

Магнітне поле

Слабке, μВ << 1

Сильне, μВ >> 1

Слабке, μВ << 1

Сильне, μВ >> 1

Механізм розсіювання

Холл-фактор

1,93

1,18

 

Примітка: 1 – розсіювання на електронейтральній домішці, 2 – розсіювання на іонізованій домішці, 3 – розсіювання на акустичних фононах

 

Щодо знаку експериментально вимірюваної ЕРС Холла, яка використовується для розрахунку R_H за допомогою формули (2.6), то очевидно, що у випадку напівпровідника n -типу провідності, де основними носіями заряду є електрони, величині ЕРС Холла слід надавати позитивне значення (U_H > 0). Саме тоді, як випливає з формули (2.6), стала Холла є, як і належить, негативною величиною (R_H < 0). І навпаки, у випадку напівпровідника р -типу провідності, де основними носіями заряду є дірки, величині ЕРС Холла слід надавати негативне значення (U_H < 0). Саме тоді, як випливає з формули (2.6), стала Холла є, як і належить, позитивною величиною (R_H > 0). Наочна ілюстрація вказаних співвідношень між типом основних носіїв заряду у досліджуваному напівпровіднику і знаком вимірюваної величини U_H подана на рисунку 2.1.