Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математическое описание систем. Энтропия и потенциальная функция.
Энтропия и потенциальная функция При изучении систем с информационно-теоретической точки зрения часто ее описание дается на языке энтропии и потенциальных функций. По аналогии с классической механикой и теорией поля можно рассматривать реакцию системы на внешнее воздействие как динамическое изменение состояния системы, в процессе которого она стремится минимизировать некоторую потенциальную функцию. В зависимости от конкретного вида системы и принятых допущений такая динамика может быть локальной в смысле движения системы к относительному минимуму, ближайшему к текущему состоянию, или глобальной в смысле движения к абсолютному (глобальному) минимуму соответствующей потенциальной функции. Приближенное описание динамического процесса на языке потенциальных функций включает следующие составляющие:
где R — есть пространство действительных чисел. При этом предполагается, что система ведет себя так, что при фиксированном входе x ее наблюдаемое состояние соответствует локальному либо глобальному минимуму потенциальной функции. Рис.5.1 — Потенциальная функция системы А) — движение к локальному минимуму; В) — движение к глобальному минимуму; f(z,a) — потенциальная функция; z(a) — начальное положение системы, где а — внешний параметр. Замена параметра а на а* приводит к изменению положения минимума функции f(z,a). Использование потенциальной функции для описания хорошо изученных физических систем оказалось весьма удачной альтернативой внутренних описаний. Успешное применение такого подхода в классической физике обусловлено существованием незыблемых вариационных принципов, таких как принципы Гамильтона, Ферма и Даламбера. В большинстве случаев внутреннее описание физического процесса на языке потенциальных функций естественным образом вытекает из описания с пoмощью потенциальных функций в силу уравнений Гамильтона-Якоби и Эйлера-Лагранжа. В системах, которые являются предметом изучения общественных наук, возможность использования такого описания не столь обоснована из-за сложности применения вариационных принципов. Однако в ряде случаев при анализе устойчивости или в теории катастроф знание точного вида потенциальной функции не является необходимым для определения важных качественных свойств системы — важен лишь сам факт ее существования.
С описанием системы на языке потенциальных функций тесно связана идея описания поведения систем с помощью энтропии. Как известно из классической термодинамики, энтропия является мерой беспорядка, существующего в данной физической системе. Мерой упорядоченности системы является отрицательная энтропия или негэнтропия. В основе описания динамического процесса с помощью энтропии лежит предположение преобразовании негэнтропии входа в информацию. Это означает, что все замкнутые системы изменяются таким образом, что минимизируют изменение энтропии. Таким образом, становится очевидной связь между описанием на языке потенциальных функций и энтропии. Чтобы показать общность описаний в терминах энтропии, перечислим основные аксиомы релятивистской теории информации, развитой Джюмэри для динамических процессов. Аксиома 1. Система является частью некоторой вселенной и развивается только постольку, поскольку она преследует некоторую цель. Аксиома 2. Для достижения цели система воспринимает информацию I из окружающей среды и использует эту информацию для перестройки собственной организации (внутренней структуры) A, в результате которой увеличилась бы негэнтропия n, и для оказания воздействия L на окружающую среду. Аксиома 3. (Принцип эволюции). Структурная энтропия Е системы определяется соотношением dE = dI/n и является неубывающей функцией эволюции. Аксиома 4. Вселенная не может наблюдать собственную эволюцию. В силу этих аксиом уравнение состояния системы имеет вид: f(He, Hi, ν) = 0, где
При таком подходе к описанию системы наблюдатель (или лицо, принимающее решение) играет особую роль, причем особый упор делается на кинематический подход, основанный на аналогах преобразования Лоренца для двух наблюдателей R и R*.
Анализируя уравнение состояния, можно заметить, что знание функции f позволяет вычислить структурную энтропию Е c помощью соотношения, описывающего обмен информацией: dI = α⋅dHe + β⋅dHi Пример 1. Одномерная динамика Рассмотрим простую динамическую систему x(t) = u(t), где x(t) и u(t) — скалярные функции. Поскольку внешняя энтропия He обладает теми же свойствами, что и время t, произведем замену: t He. Более того, имеет смысл отождествить внутреннее состояние x с внутренней энтропией Hi. Тогда динамика системы эквивалентным образом описывается уравнением dHi - u(He)⋅dHe = 0 Попытаемся теперь построить функцию состояния f в соответствии с приведенным выше ее определением. Из равнения состояния следует, что df/dHe⋅dHe + df/dHi⋅dHi + df/dν⋅dν = 0 Не имея дополнительной информации о системе, можно предположить, что ее цель не меняется.Интегрируя уравнение динамики, получаем f(Hi, He, ν) = H - ∫u(s)ds = 0 где He0 — внешняя энтропия в начальный момент времени t0. Проведенный анализ показывает, что система x = u не определена с точки зрения обмена информацией с окружающей средой. Более того, такой обмен вообще не имеет места. Пример 2. Стационарная динамика Рассмотрим систему, описываемую уравнением x(t) = Ψ[X(t)] которое способом, аналогичным рассмотренному в примере А, можно привести к виду dHi - Ψ(Hi)dHe = 0 Чтобы получить уравнение состояния, следует записать df/dHi = 1 ⇒ f = Hi + k(He) df/dHe = Ψ(Hi) ⇒ Ψ(Hi) = f(He) Однако эти уравнения противоречивы и уравнение динамики следует рассматривать не как уравнение состояния, а как уравнение обмена информацией dI = dHi - Ψ(Hi)dHe = 0 Следовательно, система не обменивается информацией с окружающей средой и развивается с постоянной структурной энтропией, что находится в соответствии с автономным характером системы. В целом можно сказать, что «энтропийный» подход к анализу систем основан на трактовке системы, как некоторого единого целого. Отсюда следует, что понять сущность системы можно, лишь изучая ее взаимодействие с окружающей средой, т.е. с некой «вселенной». Взгляд на систему как на единое целое можно развить, введя понятие «связь». Весь комплекс связей и их характеристик приводит к понятию «структура» и «сложность» системы.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 319; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.31.24 (0.011 с.) |