Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф афчх, лах, фчх

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

 

;

φ - сдвиг фазы (нередко называют - фаза);

А - амплитуда;

А ≡ А (ω); φ ≡ φ (ω) => т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x (t).

Используем показательную форму записи единичного гармонического воздействия

=> sin ωt => e iωt

 

=> (3.1.1)

Предположим, что уравнение динамики звена (системы) имеет следующий вид:

. (3.1.2)

В изображениях => ó

. (3.1.3)

=> Выразим x, x’, y, y’, y” =>

x = ei∙ω∙ t; x ’ = i∙ω∙ ei∙ω∙ t

=> Подставляя эти соотношения в (3.1.1) =>

=>

 

=> т.к. А≡А(ω); φ=φ(ω) =>

 

(3.1.4)

 

s = iω (см. формулу(3.1.3))

 

W(iω) =W(s)│s=iω

 

│s=iω (3.1.5)

 

W(iω)- Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

Иногда W(iω) называют частотной передаточной функцией.

Необходимо подчеркнуть, что W(iω)- комплексная величина.

Модуль АФЧХ =mod W(iω) =│W(iω)│≡ A(ω) – модуль (амплитуда).

(3.1.6)

Сдвиг фазы ≡ arg W(iω)= φ(ω) =>

φ(ω)=arg W(iω) (3.1.7)

Обычно АФЧХ (W(iω)) изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить W(iω) в полярных координатах (r,φ).

Однако можно изображать и в традиционных декартовых координатах =>

(3.1.8)

Если использовать для представления W(s) форму W(s) = K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням “s”, причем свободные члены =1; К – общий коэффициент усиления звена (системы) =>

W(iω)= => (3.1.9)

 

Сдвиг фазы φ(ω) можно определить по виду многочленов N(iω) и L(iω) (см. формулу (3.1.9)) => т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

φ(ω)=arg N (iω) – arg L (iω) (3.1.10)

Построим АФЧХ для “абстрактного” звена (системы) с передаточной функцией W(s) => W (i ω)= W (s)│s=iω= => подставляя в формулу различные значения ω, получаем набор векторов

Из рисунка видно, что и наоборот =>

Эта формула справедлива только для векторов, соответствующих частотам ω₁, ω₂, ω₃, ω₄.

Для вектора, соответствующего частоте ω₅, формула определения φ(ω₅) = φ₅ =>

φ(ω₅) =-π+ arctg в общем случае (3.1.11)

где j = 0, 2, 4…, если вектор в I и IV квадрантах;

j = 1, 3, 5…, если вектор во II или III четверти(квадранте).

 

Поскольку обычно степень полинома L (s) выше, чем полинома N (s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена отстает по фазе от входного сигнала. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена → 0 => lim A(ω) → 0

W (iω)- при замене ω на –ω имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при ω > 0 (—) и при ω < 0 (- - -) =>

u (ω) = u (- ω) – четная функция => симметрия относительно оси ординат

v (ω) = - v (- ω) – нечетная функция => центральная симметрия относительно начала координат.

“зеркальная” относительно оси ординат

центральная симметрия относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ широкое распространение имеют логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ). =>

ЛАХ <=> Lm (ω)=20 lg A (ω) Данная формула получена из W (i ω) =>

ln W (iω) =20 lg A (ω) = ln [ A (ω)∙ e^i·φ(ω) ] = ln A (ω) + iφ (ω)

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные (ln), в теории управления (также и в Акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела)

+1Бел – единица, характеризующая увеличение мощности в 10 раз.

+1дБ (децибел) – соответствует увеличению мощности в раз.

В формуле Lm (ω)=20 lg A (ω) величина Lm (ω) измеряется также в децибелах, а множитель 20 означает => A (ω) – амплитуда (линейная величина), а мощность (квадратичная величина) => например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность (N=u²/R) – пропорциональна квадрату напряжения => поэтому => в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике)

Если Lm(ω₁) больше Lm(ω₂) на 20 дБ, то это означает, что Lm(ω₁) - Lm(ω₂) = 20 дБ, или А(ω₁)/ А(ω₂) =10.

Окончательно: Lm (ω)=20 lg │ W (iω)│= 20 lg A (ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.

Графики A (ω) и φ (ω) имеют вид:

 

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A (ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) = Lm(lg ω) => например =>

Наклон (– 40 дБ/дек) => уменьшение амплитуды в 100раз при увеличении частоты в 10раз.

Рис. ЛАХ и ФЧХ звена САР.

Рассмотренные характеристики Lm(ω) =ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Естественно, чем выше порядок системы (звена), тем более сложный вид имеют ЛАХ и ФЧХ (обычно) => например