Начертательная геометрия, инженерная

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ

КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Оборудование пищевых и рыбообрабатывающих производств»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИНЖЕНЕРНАЯ

И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

для студентов направлений

Морской и речной транспорт»

Специальности «Судовождение»,

«Судовождение и промрыболовство»,

«Эксплуатация судовых энергетических установок»

Электромеханика»,

Пищевые технологии и инженерия»,

Машиностроение»,

Дневной и заочной формы обучения

Ι ЧАСТЬ

Керчь, 2009

 

Автор: Кирсанова В.В., ст. преподаватель кафедры ОПРП КГМТУ

 

Рецензенты: к.т.н. доцент кафедры СЭУ КГМТУ Конюков В.Л.

технический директор ООО наладочно-монтажного предприятия -

Мануилов В.В.

 

Конспект лекций рассмотрен и одобрен на заседании кафедры ОПРП КГМТУ,

Протокол № 8 от 27. 05. 2009 г.

 

 

Конспект лекций рассмотрен и одобрен к утверждению на заседании методической комиссии ТФ КГМТУ,

Протокол № 7 от 23. 06. 2009 г.

 

 

Конспект лекций утвержден на заседании Методического совета КГМТУ,

Протокол № 6 от 26. 06. 2009 г.

 

 

© Керченский государственный морской технологический университет

Введение

Начертательная геометрия является одной из дисциплин, составляющих основу инженерного образования. В курсе начертательной геометрии излагаются и обосновываются способы построения изображений пространственных форм на плоскости и способы, позволяющие по данным изображениям этих форм решать задачи геометрического характера.

Изображения, построенные по законам, изучаемым в начертательной геометрии, дают информацию о форме изображенных предметов и их взаимном расположении в пространстве, позволяют определить их размеры, исследовать геометрические свойства.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения, необходимого инженеру для глубокого понимания технического чертежа, для возможности создания новых технических объектов.

Законы и выводы начертательной геометрии являются основой для выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность, делая понятным всем язык чертежа.

Предметом “Начертательная геометрия” является изложение и обоснование способов изображения пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Начертательная геометрия – основа черчения и курса «Инженерной и компьютерной графики». Рассмотренные в курсе начертательной геометрии способы позволяют решать задачи производственного характера – определение площадей плоских фигур и кривых поверхностей, построение разверток изделий из листового материала, определение веса предметов по их изображениям и т.д.

ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

Тема: ВВедение. методы проецирования.

Проецирование точки на три

Плоскости проекций.

Методы проецирования

Методы проецирования – это правила построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемые в техническом черчении.

Изображение на плоскости предмета, расположенного в пространстве, полученное при помощи прямых линий – лучей, проведенных через каждую характерную точку предмета до пересечения этих лучей с плоскостью, называется проекцией этого предмета на данную плоскость.

Центральное проецирование

Задается плоскость проекций П_о и центр проецирования S, точка А, не лежащая в плоскости.

Проведем из S через А прямую до пересечения с плоскостью П_о . Получим центральную проекцию А_о точки А.

S – центр или полюс проецирования

П_о - плоскость проекций

SA_о - проецирующий луч (проецирующая прямая)

А_о - центральная проекция точки А на плоскость

1 свойство: при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию.

Но если есть проекция точки, S и П, то точку в пространстве найти нельзя.

2 свойство: каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией бесконечного множества точек.

Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех её точек.

Центральные проекции линии не определяют проецируемую линию.

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек.

 

ПРИМЕР: При построении на П_о проекции ∆ АВС достаточно построить проекции А_о, В_о, С_о трех его точек – вершин А, В и С.

 

Центральное проецирование применяют для изображения предметов в перспективе, но для технического черчения этот метод неудобен.

Параллельное проецирование

Его можно рассматривать как частный случай центрального, при котором центр проецирования удален в бесконечность.

Применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называют прямоугольным или ортогональным.

 

 

 

 

 

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального, а так же возникают следующие свойства:

а). Проекции взаимно // прямых //, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций

б). Плоская фигура, // плоскости проекций проецируется на эту плоскость в натуральную величину

в). Если прямая перпендикулярна направлению проецирования, то её проекцией является точка

Если есть центр параллельной проекции, мы не сможем определить положение точки в пространстве.

Гаспар Монж предложил взять две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (горизонтальную П₁ и фронтальную П₂) и используя метод прямоугольного проецирования направить проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям.

П₁ – горизонтальная плоскость проекций

П₂ -фронтальная плоскость проекций

X- ось проекций- линия пересечения плоскостей П₁ и П₂ или П₁ /П₂

A_x A₁ и A_x A₂ – перпендикулярны оси X –линии связи

 

Если есть в пространстве точка А, то опускаем из неё перпендикуляр на П₁ (горизонтальная проекция точки А – А₁) и на плоскость П₂ (фронтальная проекция точки А – А₂)

 

Но данное наглядное изображение точки в системе П₁/П₂ для целей черчения неудобно.

Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной, образуя одну плоскость чертежа.

Это преобразование осуществляется путем поворота вокруг оси Х плоскости П₁ на угол 90^о вниз. При этом A_x A₂ и A_x A₁ образуют один отрезок, расположенный на перпендикуляре к оси проекций Х, называемом линией связи.

Получили чертеж под названием эпюр Монжа.

Комплексный чертеж точки.

 

 

Получили эпюр Монжа для трех плоскостей или комплексный чертеж точки А

 

H (П₁) - горизонтальная плоскость проекций

V (П₂) - фронтальная плоскость проекций

W (П₃) - профильная плоскость проекций

А₁ - горизонтальная проекция точки А

А₂ - фронтальная проекция точки А

А₃ - профильная проекция точки А

П₁ и П₂ -образуют ось Х

П₂ и П₃ -образуют ось Z

П₁ и П₃ -образуют ось У

 

Две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций – координаты точки (X _А, У _А ,Z _А). Задаются числами.

ОА_х- абсцисса точки А–координата Х_А- расстояние от А до П₃ . ОА_х=А ₁А _у = А_z А ₂

ОА_у- ордината точки А–координата У_А- расстояние от А до П₂._. ОА_у=А _хА₁

ОА_z - аппликата точки А–координата Z_А - расстояние от А до П₁. ОА_z=А _хА₂

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие есть методы проецирования?

2. Какие свойства центрального проецирования?

3. Какие свойства параллельного проецирования?

4. Как получить проекции точки на две плоскости проекции?

5. Как получить проекции точки на три плоскости проекции?

Определение видимости

 

Прямые уровня

Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в натуральную величину. Они находятся на одном уровне от соответствующей плоскости.

Горизонтальная прямая – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁.

АВ // П₁

 

Профильная и фронтальные проекции // со ответственно осям Х и У

 

А₁ В₁ – натуральная величина (НВ) отрезка АВ

 

 

Фронтальная прямая – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П₂.

АВ//П₂

 

А ₁В ₁//х, А ₃В ₃ //z, А ₂В₂ = АВ (НВ)

 

 

Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций П₃.

АВ//П₃

 

А₃ В₃ =АВ (НВ)

 

Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку. Они совпадают с направлением проецирования.

Проецирующие прямые одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций.

Горизонтально-проецирующая прямая – это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П₁ .

 

АВ

П1

А2 В2

ОХ

НВ

А3 В3

ОУ

 

 

Фронтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂ .

 

АВ

П21

А1 В1

//

ОУХ

НВ

А3 В3

//

ОУ

 

Профильно-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃ .

АВ

П31

А1 В1

//

ОХУХ

НВ

А2 В2

//

ОХУ

 

Точка на прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой.

 

 

К АВ

Определить: d MN?

 

 

d MN

 

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостями называется следом прямой.

 

 

 

Чтобы построить горизонтальный след прямой необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию В₂ А₂ до пересечения с осью Х в точке М₂ .

2. Провести через эту точку линию связи на П₁ .

3. Продолжить горизонтальную проекцию В₁ А₁ до пересечения с этой линией связи в точке М₁ .

Для построения фронтального следа надо продолжить горизонтальную проекцию А₁В₁ до пересечения с осью Х. Из полученной точки N₁ провести линию связи на П₂ до пересечения с продолжением А₂ В₂ . N₂ – фронтальный след прямой АВ.

М – горизонтальный след прямой АВ (М₁ М₂)

N - фронтальный след прямой АВ (N₂ N)

 

 

Дан отрезок общего положения. Найти горизонтальный и фронтальный следы.

 

Взаимное положение прямых

1.Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. (Если одноименные проекции прямых общего положения параллельны на двух плоскостях проекций, то эти прямые параллельны).

 

АВ//СD

А₁ В₁ //С₁ D₁

А₂₁ В₂ //С₂ D₂

 

 

2.Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а точка их пересечения лежит на одной линии связи.

Справедливо и обратное, кроме профильных прямых.

 

3. Если прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися.

 

a b

1 b 2 a

Z₂ > Z₁ а- видимая

У₄ > У₃ b - видимая

 

Проецирование прямого угла

Прямой угол проецируется прямым, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций, т.е. является фронтальной или горизонтальной прямой. (Прямой угол проецируется прямым на ту плоскость проекций, которой параллельна одна из его сторон, т. е. является фронтальной или горизонтальной прямой).

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какая прямая называется прямой уровня?

2. Какая прямая называется проецирующей?

3. Как получить проекции прямой?

4. Как получить проекции точки, принадлежащей прямой?

5. Как оформить горизонтальный след прямой по ее проекциям?

6. Как проходят проекции параллельных прямых?

7. Как проходят проекции пересекающихся прямых?

8. Как проходят проекции скрещивающихся прямых?

 

ТЕМА: ПЛОСКОСТЬ

Способы задания плоскости

Плоскость может быть задана:

 

1.Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой

 

2. Проекцией прямой и точки, не лежащей на этой прямой

 

 

 

 

3. Проекциями двух пересекающихся прямых

 

 

4. Проекциями двух параллельных прямых

 

 

 

5. Проекциями любой плоской фигуры

 

 

6.Следами

 

 

Следы плоскости

 

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости.

 

Следы пересекаются в одной точке, лежащей на оси – точка схода следа.

 

Ph – горизонтальный след плоскости

Pv - фронтальный след плоскости

Pw – профильный след плоскости

Px, Py, Pz – точки схода следов

 

След плоскости – это прямая, принадлежащая данной плоскости и плоскости проекций. А поэтому след на эпюре совпадает с одноименной своей проекцией, а другие его проекции лежат на осях.

 

Ph – горизонтальный след плоскости совпадает со своей горизонтальной проекцией, фронтальная его проекция лежит на оси Х, а профильная – на оси У.

 

 

Плоскости уровня

Это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

 

1. Плоскость параллельная П₁ - горизонтальная плоскость уровня

А1В1С1 - НВ А2В2С2 // ОХ

2. Плоскость, параллельная П₂ – фронтальная плоскость уровня

А2В2С2 - НВ А1В1С1 // ОХ

3. Плоскость, параллельная П₃ - профильная плоскость уровня

 

А3В3С3 - НВ А1В1С1 // ОУ А2В2С2 // ОZ

 

Проецирующие плоскости

Это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

 

1. Плоскость, перпендикулярная П₁ - горизонтально-проецирующая плоскость

 

 

2.Плоскость, перпендикулярная П₂ - фронтально-проецирующая плоскость

 

 

3.Плоскость, перпендикулярная П₃ - профильно-проецирующая плоскость

 

Прямые особого положения

Горизонталь (h) – прямая, лежащая в данной плоскости и и параллельная горизонтальной плоскости проекции.

Фронталь (f) - прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

h₂ // X h₁ – НВ

f₁ // X f₂ - НВ

 

Все горизонтальные проекции горизонтали параллельны горизонтальному следу плоскости.

Все фронтальные проекции фронтали параллельны фронтальному следу плоскости.

 

 

 

Прямая и точка в плоскости

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости (или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в данной плоскости).

 

 

2. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой этой плоскости.

 

 

 

Двух плоскостей

1. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в данной плоскости.

Дано: α (∆ АВС)

К (К₁ ; К₂)

а // α (через К провести

прямую параллельно α)

 

Алгоритм решения:

1 2 α а // α

 

2. Прямая, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым данной плоскости.

В качестве таких прямых принимаем фронталь и горизонталь (исходя из правила проецирования прямого угла).

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости.

 

М₁ h₁

M₂ f₂

3. Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

 

α (∆ АВС) а // АВ (а₁ // А₁ В₁ , а₂ // А₂ В₂)

К (К₁; К₂ ) в // АС (в₁ // А₁ С₁ , в₂ // А₂ С₂)

α // ß

 

3. Плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости.

 

Задача: через прямую а провести плоскость, перпендикулярную ∆ АВС.

Искомую плоскость ß задаем двумя пересекающимися прямыми а и , опущенным к ∆ АВС.

Строим горизонталь h (h₁ и h₂ ) и фронталь f (f₁ и f₂)/

Исходя из правила построения перпендикуляра к плоскости, проводим прямую D₁ h₁ и D₂ h₂.

Получаем искомую плоскость ß.

 

Определить НВ прямой АВ

В проецирующее положение

1. Плоскость П₂ заменяем на новую плос кость П₄ перпендикулярную П₁ // АВ. Тогда новая ось П₁П₄ будет // А₁В_1.

Расстояние от оси П_{1 4} до А₄ и В₄ равно соответственно расстоянию от А₂ и В₂ до оси П_{1 2}. (т.е. расстояние до оси замеряем на той плоскости, которую заменяем).

 

2.Получили прямую в натуральную величину (сделали АВ прямой уровня). Заменяем П₁ на П₅, перпендикулярную П₄ и перпендикулярную АВ. Тогда новая ось П₄П₅ будет перпендикулярна А₄ В₄. От оси А₄ В₄ по линиям связи, проведенным с П₄ на П₅ откладываем расстояния, равные расстояниям от А₁ и В₁ до оси П_{1 4}. АВ на П₅ спроецировалось в точку А₅ ≡В₅.

 

Сделать ∆ АВС проецирующим

Вводим дополнительную плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС (надо ввести плоскость перпендикулярно любой прямой в плоскости треугольника – горизонтали или фронтали). От системы П₁/П₂ переходим к системе П₁/П₄, где П₄ перпендикулярно П₁ и перпендикулярна ∆ АВС (проводим горизонталь h₂ // оси Х и по линиям связи - h₁). Новая плоскость П₄ перпендикулярна h (ось П₁// П₄ перпендикулярна h₁ и соответственно П₁).

 

Найти НВ плоской фигуры (∆ АВС)

 

Производим две замены.

 

ТЕМА: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

Определение НВ сечения

 

Сечением многогранника плоскостью является многогранник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых (пересечение секущей плоскости с гранями пирамиды или призмы).

 

Дано: Основание пирамиды лежит на П₁.

Найти сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью и определить его НВ

Т.к. фронтальная проекция сечения выражается в отрезок, совпадающий с фронтальной проекцией секущей плоскости Q_п, то можно отложить фронтальные проекции вершин сечения 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂.

 

Горизонтальные проекции определяем проецированием.

 

НВ сечения определяем методом перемены плоскостей проекций.

 

 

1 1

Чтобы на конусе построить L₁ и N1 следует связать точки с основанием при помощи какой-либо прямой:

1.Связываем L₂ прямой 1₂S₂ и N₂ прямой 2₂S₂

2.Строим 1₁S₁ и 2₁S₁

3.Находим L₁ и N₁

1

Через К₂ проводим горизонтальную секущую плоскость Qп₂. В сечении конуса получается окружность ø С₂D₂. Строим на П₁ горизонтальную проекцию сечения – окружность ø С₂D₂. На этой окружности по линии связи находим К₁

Определение НВ сечения

Методом перемены плоскостей проекций

 

.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Как изобразить на комплексном чертеже пирамиду?

2. Как изобразить на комплексном чертеже призму?

3. Как определить проекции точки принадлежащей грани многогранника?

4. Определить точки пересечения прямой с гранями многогранника?

5. Как изобразить на комплексном чертеже проекции цилиндра?

6. Как изобразить на комплексном чертеже проекции конуса?

7. Как изобразить на комплексном чертеже проекции сферы?

8. Как изобразить на комплексном чертеже проекции тора?

Развертка усеченной призмы

Развертку боковой поверхности с основанием и фигурой сечения призмы строят следующим образом. Проводят прямую, на которой откладывают пять отрезков, равных длинам сторон пятиугольника, лежащего в основании призмы. Из полученных точек проводят перпендикуляры, на которых откладывают действительные длины ребер усеченной призмы, беря их с фронтальной или профильной проекции, получают развертку боковой поверхности призмы.

К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру нижнего основания — пятиугольник и фигуру сечения. При этом используют метод триангуляции (метод засечек). На рисункепоказано построение вершины 5 методом триангуляции. Линии сгиба по ГОСТ 2.303—68 показывают на развертке штрих-пунктирной линией с двумя точками.

Развёртка усеченного конуса

Построение развертки поверхности конуса начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса из точки s₀. Длина
дуги определяется углом α:

α= ,

где d — диаметр окружности основания конуса в мм;

l — длина образующей конуса в мм.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s _о. От вершины s₀ откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины
конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проходящей через вершину конуса.
Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2, надо из 2' провести горизонтальную прямую до пересечения в точке b ^/с контурной образу-
ющей конуса, являющейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Как построить развертку призмы?

2. Как построить развертку пирамиды?

3. Как построить развертку цилиндра?

4. Как построить развертку конуса?

 

Прямоугольные проекции

Изометрия (k = m = n)

Действительный коэффициент искажения по всем трем осям равен 0,82. Но на практике применяют коэффициент искажения 1. Поэтому в аксонометрии получаем удлинение 1:0,82 = 1,22 М_А 1,22:1

 

 

 

 

Диметрия (k=n≠m)

Действительные коэффициенты искажения по осям Х и Z – 0,94, по У – 0,47.

Принимаем 1 и 0,5 М_А 1,06: 1

И геометрических тел

 

Окружность в аксонометрии

Окружность в изометрии

Окружность в изометрии – эллипс, оси которого перпендикулярны.

В учебных чертежах вместо эллипсов применяют овалы.

Для построения овала в плоскости Н проводят вертикальную и горизонтальную оси овала. Из точки пересечения осей О проводят вспомогательную окружность диаметром d, равным действительной величине диаметра изображаемой окружности, и находят точки п ₁ п₂, п₃, п₄ пересечения этой окружности с аксонометрическими осями х и у. Из точек т₁ и т₂ пересечения вспомогательной окружности с осью z, как из центров радиусом R=m₁n₄, проводят две дуги 2 3 и 1 4, принадлежащие овалу. Пересечения этих дуг с осью z дают точки С и D.

Из центра О радиусом ОС, равным половине малой оси овала, засекают на большой оси овала АВ точки 0₁ и 0₂. Точки 1, 2, 3 и 4 сопряжений дуг радиусов R и R ₁находят, соединяя точки т₁ и т₂ с точками 0₁ и 0₂ и продолжая прямые до пересечения с дугами 23 и 1 4. Из точек 0₁ и 0₂ радиусом R₁ =O₁1 проводят две дуги. Так же строят овалы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям V и W.

По осям Х и У откладываем радиусы окружности от точки О.

БО - большая ось овала

МО – меньшая ось овала

 

 

Окружность в диметрии

 

 

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий:

- пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

- их оси должны пересекаться; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;

- их оси должны быть // какой-либо плоскости проекций.

Сфера R_max проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера R_min должна касаться образующей большего тела, а меньшее тело – пересекать.

Сфера R_min определяется как большее расстояние от центра сфер до образующих обоих тел - перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим. Больший перпендикуляр и будет являться радиусом минимальной сферы.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1. Определяем очевидные точки 1₂ (1₁) и 2₂ (2₁)

2. Восстанавливаем перпендикуляры из центра сфер О₂ к очерковым образующим цилиндра и конуса. Перпендикуляр к цилиндру О₂F₂ больше, чем перпендикуляр к образующей конуса. Значит, О₂F₂=R и будет являться радиусом минимальной сферы. На П₂ проводим из центра О₂ этим радиусом R окружность, которая рассечет и конус и цилиндр по окружностям, фронтальной проекцией которых будут прямые – сечение конуса А₂В₂ и сечение цилиндра С₂F₂.

На пересечении этих сечений определяем фронтальную проекцию точки 3 – 3₂.

3. На П₁ строим горизонтальную проекцию сечения конуса, на котором находится точка 3 – окружность радиусом А₂В₂ / 2, на которой по линии связи определяем точки 3₁ и 3₁^/.

 

1. Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Содержание