Главные оси и главные моменты инерции.

С изменением угла изменяется и осевой момент инерции Среди множества значений момента инерции существуют, повидимому, экстремальные значения. Для их нахождения необходимо, чтобы или

Обозначив угол , соответствующий экстремальному значению момента, , получим .

Исключаем случай, при котором , ибо в этом случае полученное уравнение будет удовлетворено лишь при и разделив на , получим

Откуда

(2.14)

По формуле (2.14) определяем угол наклона той оси u, относительно которой осевой момент инерции принимает экстремальное значение.

Через начало координат можно провести, в общем случае, только две оси с экстремальными значениями осевых моментов инерции (если ).

Эти две оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а называются главными осями инерции площади фигуры, проходящих через заданную точку .

Если одна из двух взаимно перпендикулярных осей является осью симметрии фигуры , то эти оси будут главными осями инерции.

В связи с этим можно сказать, что через любую точку в плоскости фигуры, в общем случае, можно провести только две главные оси инерции.

Если точка совпадает с центром тяжести площади фигуры, то главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Так как , следовательно, если , то, .

Оси координат соответствующие экстремальным значениям центробежного момента инерции.

Для центробежного момента инерции площади фигуры имеем

Этот момент инерции также является функцией угла наклона осей uv, следовательно, для определения экстремального значения центробежного момента инерции необходимо приравнять нулю его производную .

Угол , соответствующий экстремальному значению центробежного момента инерции, обозначим через .

Тогда

.

Отсюда, если , получим

. (2.15)

По этой формуле определяется тот угол, на который надо повернуть первоначально заданную систему координат yz, чтобы прийти к системе относительно которой центробежный момент инерции принимает экстремальное значение. Пара взаимно перпендикулярных осей, соответствующая экстремальному значению центробежного момента инерции, образует с главными осями инерции угол .

Таким образом, после определения главные осей инерции, не требуется дополнительных вычислений для отыскания осей, соответствующих экстремальному значению центробежного момента инерции.

Главные моменты инерции.

Имеем

Сложим и вычтем. Получим

или

.

Имеем

Отсюда

Тогда

т.е.

Складывая полученные сумму и разность осевых моментов инерции, получим

или

Найдем .

Имеем

,

или

Тогда

(2.16)

(2.17)

Верхние знаки берем при нижние при

Объединяя, получим

(2.18)