II. Геометрические характеристики плоских фигур.

II. Геометрические характеристики плоских фигур.

Статические моменты.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру. Плоская фигура – это фигура всеми точками, лежащая в одной плоскости.

Оси этой системы обозначим y и z. Обозначение x оставим для третьей координатной оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 2.1). Разобьем площадь фигуры на бесконечное количество бесконечно малых элементов, например, на прямоугольники со сторонами dy и dz параллельными осям координат. Площадь этого бесконечно малого элемента обозначим dA = dy dz. Возьмем произвольную точку M ( y;z ) и вычислим следующие интегралы:

. (2.1)

Эти интегралы называются статическими моментами площади рассматриваемой фигуры относительно координатных осей y и z.

Каждый из интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dA на расстояние от соответствующей оси (z или y).

Первый интеграл называется статический момент площади сечения относительно оси y, а второй – относительно оси z. Следовательно, для определения статических моментов необходимо найти числовые значения определенных интегралов указанного типа.

Рассмотрим примеры.

1. Определить статический момент площади прямоугольника относительно оси y (рис. 2.2,а). Необходимо вычислить интеграл

.

Аналогично .

2. Найти статический момент площади «уголка» относительно оси y (рис. 2.2,б). Заданная фигура состоит из двух прямоугольников со сторонами b ,h и b ,h . Поэтому можно определить статический момент всей фигуры как сумму статических моментов каждого из прямоугольников в отдельности, т.е.

Используя результаты предыдущего примера, получим

3. Найти статический момент площади фигуры относительно оси y .( рис. 2.2,в ). Заданную фигуру можно представить образованной путем исключения из прямоугольника с размерами двух прямоугольников I и II. Тогда , или .

4. Вычислить статический момент площади полукруга относительно основания (рис. 2.3).

Имеем Здесь

Поэтому

Здесь двойной интеграл сводится к двум интегралам с постоянными пределами:

Вычислив каждый интеграл, получим

При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей и ( рис. 2.4 ). Предположим, что площадь сечения и статические моменты и заданы. Требуется определить и . Из рис.2.4 имеем

, .

Искомые статические моменты будут равны:

или

Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину равную произведению площади на расстояние между осями. Рассмотрим первое из полученных выражений. Величина может быть любой (положительной, отрицательной). Поэтому ее можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы статический момент был равен нулю.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной. Расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой, оси y₁ равно

Аналогично для другого семейства параллельных осей

,

Полученные выражения дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или найти статические моменты, если известно положение центра тяжести.

Если фигура сложная, то ее можно разбить на простые, площадь и центр тяжести, которых легко определяется. Например (рис. 2.5).

Обобщая, полоучим

(2.2)

(2.3)

Некоторую особенность при отыскании центров тяжести представляют симметричные фигуры. Рассмотрим симметричную фигуру (рис. 2.6).

Ось симметрии фигуры разбивает заданную фигуру на две одинаковые части (по форме и размерам) I и II, расположенные по разные стороны от этой оси. Примем ось симметрии за координатную ось z, а положение оси y выберем произвольно. При мысленном перегибании всей фигуры по оси симметрииобе части ее совпадут всеми своими точками, в частности, совпадут центры тяжести и каждой из частей. Это означает, что точки и расположены на одинаковых расстояниях от оси симметрии, т.е. . Отсюда Площади обеих частей равны, т.е.

Тогда

Полученный результат показывает, что центр тяжести площади заданной фигуры лежит на оси z, т.е. на оси симметрии фигуры. Следовательно, если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на оси симметрии.

Статический момент любой фигуры тогда и только тогда равен нулю, когда ось проходит через центр тяжести фигуры.

Если фигура имеет две или более осей симметрии (квадрат, круг и т.д), то центр тяжести ее лежит на пересечении этих осей. Отсюда следует, что все оси симметрии, независимо от их числа, пересекаются в одной точке.

Главные моменты инерции.

Имеем

Сложим и вычтем. Получим

или

.

Имеем

Отсюда

Тогда

т.е.

Складывая полученные сумму и разность осевых моментов инерции, получим

или

Найдем .

Имеем

,

или

Тогда

(2.16)

(2.17)

Верхние знаки берем при нижние при

Объединяя, получим

(2.18)

Радиусы инерции.

Помимо рассмотренных геометрических характеристик плоских фигур, иногда приходится встречаться с еще одной характеристикой – радиусом инерции. Радиусом инерции площади фигуры относительно оси u называется величина .

Так как момент инерции имеет различные значения для разных осей, то и радиус инерции изменяется при переходе от одной оси к другой. Рассмотрим случай, когда все интересующие нас оси проходят через одну и ту же точку. Имеем

В частном случае главных осей .

Разделив обе части полученного выражения на площадь фигуры , получим

,

ли

, (2.20)

где и - радиусы инерции площади заданной фигуры относительно двух главных осей и . Эти радиусы инерции называются главными радиусами инерции. Полученная формула дает возможность найти радиус инерции относительно любой наклонной оси.

 

II. Геометрические характеристики плоских фигур.

Статические моменты.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру. Плоская фигура – это фигура всеми точками, лежащая в одной плоскости.

Оси этой системы обозначим y и z. Обозначение x оставим для третьей координатной оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 2.1). Разобьем площадь фигуры на бесконечное количество бесконечно малых элементов, например, на прямоугольники со сторонами dy и dz параллельными осям координат. Площадь этого бесконечно малого элемента обозначим dA = dy dz. Возьмем произвольную точку M ( y;z ) и вычислим следующие интегралы:

. (2.1)

Эти интегралы называются статическими моментами площади рассматриваемой фигуры относительно координатных осей y и z.

Каждый из интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dA на расстояние от соответствующей оси (z или y).

Первый интеграл называется статический момент площади сечения относительно оси y, а второй – относительно оси z. Следовательно, для определения статических моментов необходимо найти числовые значения определенных интегралов указанного типа.

Рассмотрим примеры.

1. Определить статический момент площади прямоугольника относительно оси y (рис. 2.2,а). Необходимо вычислить интеграл

.

Аналогично .

2. Найти статический момент площади «уголка» относительно оси y (рис. 2.2,б). Заданная фигура состоит из двух прямоугольников со сторонами b ,h и b ,h . Поэтому можно определить статический момент всей фигуры как сумму статических моментов каждого из прямоугольников в отдельности, т.е.

Используя результаты предыдущего примера, получим

3. Найти статический момент площади фигуры относительно оси y .( рис. 2.2,в ). Заданную фигуру можно представить образованной путем исключения из прямоугольника с размерами двух прямоугольников I и II. Тогда , или .

4. Вычислить статический момент площади полукруга относительно основания (рис. 2.3).

Имеем Здесь

Поэтому

Здесь двойной интеграл сводится к двум интегралам с постоянными пределами:

Вычислив каждый интеграл, получим

При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей и ( рис. 2.4 ). Предположим, что площадь сечения и статические моменты и заданы. Требуется определить и . Из рис.2.4 имеем

, .

Искомые статические моменты будут равны:

или

Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину равную произведению площади на расстояние между осями. Рассмотрим первое из полученных выражений. Величина может быть любой (положительной, отрицательной). Поэтому ее можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы статический момент был равен нулю.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной. Расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой, оси y₁ равно

Аналогично для другого семейства параллельных осей

,

Полученные выражения дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или найти статические моменты, если известно положение центра тяжести.

Если фигура сложная, то ее можно разбить на простые, площадь и центр тяжести, которых легко определяется. Например (рис. 2.5).

Обобщая, полоучим

(2.2)

(2.3)

Некоторую особенность при отыскании центров тяжести представляют симметричные фигуры. Рассмотрим симметричную фигуру (рис. 2.6).

Ось симметрии фигуры разбивает заданную фигуру на две одинаковые части (по форме и размерам) I и II, расположенные по разные стороны от этой оси. Примем ось симметрии за координатную ось z, а положение оси y выберем произвольно. При мысленном перегибании всей фигуры по оси симметрииобе части ее совпадут всеми своими точками, в частности, совпадут центры тяжести и каждой из частей. Это означает, что точки и расположены на одинаковых расстояниях от оси симметрии, т.е. . Отсюда Площади обеих частей равны, т.е.

Тогда

Полученный результат показывает, что центр тяжести площади заданной фигуры лежит на оси z, т.е. на оси симметрии фигуры. Следовательно, если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на оси симметрии.

Статический момент любой фигуры тогда и только тогда равен нулю, когда ось проходит через центр тяжести фигуры.

Если фигура имеет две или более осей симметрии (квадрат, круг и т.д), то центр тяжести ее лежит на пересечении этих осей. Отсюда следует, что все оси симметрии, независимо от их числа, пересекаются в одной точке.