Формула сложения вероятностей

Для любых событий A и B выполняется равенство: .

Эта формула называется формулой сложения вероятностей. Она справедлива для любых событий, и является обобщением формулы сложения вероятностей для несовместных событий, которая приводилась выше. Действительно, если A и B являются несовместными, то , поэтому . И тогда из общей формулы сложения вероятностей для несовместных событий получается более простая: .

Докажем общую формулу сложения вероятностей. Если N_A – число исходов опыта, приводящих к осуществлению события A, а N_B – к осуществлению события B, то в сумме N_A + N_B будут дважды учтены те исходы, которые одновременно приводят к осуществлению и события A, и события B. Поэтому это число событий N_AB (приводящих к осуществлению произведения событий A и B) необходимо вычесть из N_A + N_B, чтобы получить число благоприятных событий, соответствующих сумме событий A и B. Тогда получится, что число благоприятных событий для суммы событий A и B равно N_A + N_B − N_AB, а общее число событий – равно N. Тогда вероятность суммы событий . Это и есть формула сложения вероятностей в общем виде.

Аналогичные формулы для вероятностей суммы любого числа событий можно получить несколько раз применяя формулу для сложения вероятностей двух событий. Например, дважды применяя эту формулу можно получить: . Последнее слагаемое получило знак плюс, потому что минус на минус даёт плюс, а аргумент в нём равен , потому что для событий . Таким образом формула сложения вероятностей для трёх событий: .

Аналогично можно получить формулы для сложения вероятностей любого числа событий. Кроме того, вычислять вероятности сумм большого числа событий можно через вероятности противоположных событий. Сумма событий есть событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно из суммируемых событий. Противоположным по отношению к нему является событие . Эти события и являются несовместными, поэтому их сумма – это E, т.е. всё пространство элементарных событий, его вероятность равна 1. Следовательно, 1 равна и вероятность суммы событий и , т.е. . Поскольку используется формула сложения вероятностей несовместных событий, то получается . И тогда , а потому .

Пример. Два стрелка одновременно, независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, событие B – попадание в мишень вторым стрелком, событие C – мишень поражена, т.е. в ней оказалась одна или две пробоины. При этом одна пробоина может оказаться от попадания в мишень, как первого, так и второго стрелка, поэтому событие .

Вероятность события C можно подсчитать как минимум двумя способами. При первом определим вероятность противоположного C события, т.е. когда мишень оказалась не поражённой. В этом случае оба стрелка не попали в мишень, т.е. . Тогда вероятность противоположного C события . Тогда .

Вторым способом эту же вероятность можно подсчитать по формуле сложения вероятностей . Оба вычисления дали одинаковые результаты.

В обоих вычислениях формулы произведений вероятностей событий и противоположных к ним применялись при условии, что события A и B, как и противоположные им, являются независимыми. А вероятности произведений независимых событий равны произведениям их вероятностей: и .

Случайные величины