Устойчивость дифференциальных систем.

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифф.ур.:

(1,32)

Где t- время, x ,(t,x)=(t, ,…, )

Будем считать,что для сист.(1,32) выполняется требование сущ.единственности задачи Коши некоторой области G из про-ва .Кроме того будем считать,что все решения данной системы определены при .

Опр1. Решение (t) системы (1,32) определенное при наз. Устойчивым по Ляпунову (устойчивым),если для числа что все решения x(t) этой системы удовлетворяющие условию )- ) определены при и для них выполняется неравенство:

(t) (2.32)

Опр2. Решение (t) системы (1,32) определенное при наз асимптотически устойчивым,если оно устойчиво по Ляпунову и кроме того при выполнении условия:

) предел:

(3.32)

Опр. 3 Решение системы (1.32) наз. Неустойчивой по Ляпунову, если для некоторых , а также для любого существует решение этой системы и сущ.момент времени что имеет место неравенство: , .

Метод функции Ляпунова.

Рассмотрим нормальную обыкновенную систему ДУ (1) С непрерывной правой частью, определенной при Кроме того будем считать, что система (1)имеет нулевое решение x

Пусть есть непрерывно дифференцируемые скалярные функции, положительные при х и обращаются в ноль при х=0.

Теорема1. (теор. Ляпунова об устойчивости) Если сущ. Функция v для которой выполняются соотношения: (2)

То нулевое решение системы (1) устойчиво.

Функция удовлетворяющее условию (2) наз. функциями Ляпунова

Следствие1. Если система (1) имеет автономный (стационарный, независящий от времени , певый интеграл v положительный в некоторой проколотой окрестности точки х=0 и v(0)=0 то нулевое решение системы (1) устойчиво.

Теорема2 (теор. Ляпунова об асимптотический устойчивости)Если сущ. ф-ий v и w такие, что выполняются соотношения , (3)

То нулевое решение системы (1) асимптотический устойчиво.

Теорема3. (теор. Ляпунова о неустойчивости) Если сущ. ф-ий v и w такие,что , (4) То нулевое решение системы (1) не устойчиво.

Систему (1) вида , будем наз. квазилинейной (системой с ведущей линейной частью) если равномерно при

При этом автономную линейную систему будем наз. линеаризацией системы (5) вдоль нулевого решения.

Теор4. (об устойчивости) Если линеаризация (6) асимптотически устойчива, то асимптотически устойчива и нулевое решение квазилинейной системы (5)

Следствие 2 Если вектор-ф-ия f(x) непрерывно диф-ма в окрестности т. х=0, где все характеристические числа матрицы Якоби имеют отрицательные действительные чисти, то нулевое решение автономной системы асимптотически устойчиво.

Теор5 (о неустойчивости) Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную действительную часть, то нулевое решение квазилинейной системы (5) не устойчиво.

 

Автономные системы.

Рассмотрим автономную систему (1), где вектор-функция f(x) определена на всем пространстве и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументом в каждой ограниченной части пространства .

Тогда при начальном условии существует и единственно решение системы (1) определенная в некоторой окрестности точки t=0.

Это решение рассматривается как закон движения точки в пространстве .

При этом точка x описывает некоторую траекторию зависящая от выбора начальной точки .

При законе движения x=x(t) вектор скорости определяется по формуле . Поэтому автономная система (1) задает поле скоростей (направлений) в фазовом пространстве . Это означает, что каждой точке x из фазового пространства ставится в соответствие вектор .

Специфика автономной системы (1) у которой в правую часть не входит время t состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени, т.е. является стационарным.

При продолжении решения вправо, т.е. в сторону возрастания t, возможны 2 ситуации:

1) решение может быть продолжено на всю полуось ;

2)при приближении конечному t, (т.е. решение уходит на бесконечность).

Далее будем считать, что всегда имеет место первая ситуация. Покажем, что это ограничение не уменьшает общности. В самом деле вместе с системой (1) рассмотрим автономную систему

(2), где скалярная функция и удовлетворяет тем же условиям, что и вектор-функция f(x). Эта система обладает теми же траекториями, что и система (1), отличается только скорости прохождения по эти траекториям.

Поэтому можно подобрать скалярную функцию r так, чтобы скорость движения определяемая системой (2) была ограниченной. В этом случае движущаяся точка не может уйти в бесконечность за конечное время, т.е.2-ая ситуация не возможна.

Для каждой точки данная вектор-функция дает решение системы (1), поэтому выражение (3) определяет точку в которую перемещается точка за момент времени t.

Вектор-функция (3) обладает следующими свойствами:

1) она непрерывна по совокупности переменных;

2)

3) .

Из свойства 2),3) вытекает, что при фиксированных параметрах t отображение , пространства на себя являются взаимно обратным.

Свойство: Если две траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие решения отличаются лишь сдвигом по времени.

Т.1: Решение x(t) системы (1) может быть только одного из следующих трёх видов:

1) непериодическое, для которого при ;

2)периодическое для которого найдется такая постоянная T (период), что ,а при ;

3) постоянное, для которого

Траектории соответствующие 1-му виду назыв. незамкнутыми; 2- замкнутыми; 3- точкой покоя или состоянием равновесия.