Моделирование технических систем на основе алгебры логики.

Моделирование процессов и объектов машиностроения предполагает, наряду с численными методами, широкое использование математических операций с высказываниями, которые имеют свою специфику и свои законы, рассматриваемые алгеброй логики. Модели алгебры и исчисления высказываний рассматривают связи между высказываниями, которые воспринимаются через выражающие их предложения соответствующего предметного языка [14].

Овладению им способствует усвоение понятий о простых и составных высказываниях, элементарной алгебры логики. Для спешного решения задач, возникающих при этом, необходимо знание порядка моделирования логических высказываний и технических систем на основе синтеза комбинационных схем. Выражение значительной части знаний, относящихся как к математике, так и к естественному разговорному языку, возможно на основе логической системы –исчисления предикатов первого порядка.

В соответствии с теоретико-множественным подходом в алгебре высказываний в качестве элементов множества выступают простые высказывания, операции над которыми и являются содержанием этой алгебры.

Простое высказывание – каждое утверждение, которое в определенных условиях времени и места может быть истинным или ложным.

Высказывания рассматриваются по отношению к элементам некоторого универсального множества . Отдельные элементы этого множества будут обладать различными свойствами и в соответствии с этим могут образовывать различные группы, представляющие собой подмножества множества . Так, если – множество инструмента, то его подмножествами могут быть: – множество резцов; – множество сверл; – множество зенкеров и т.д.

Высказывания будем обозначать строчными латинскими буквами и приписывать каждому из них численные значения: (если высказывание истинно) и (если оно ложно). Пусть означает высказывание «это резец». Его численные значения будут равны:

Логической операцией над простыми высказываниями называется построение из них нового составного высказывания. Совокупность таких логических операций получила название алгебры высказываний, или булевой алгебры.

Приняты три способа изображения булевых функций:

1. Формула, указывающая в явном виде последовательность логических операций, производимых над высказываниями ,и имеющая вид соотношения (2.91).

2. Таблица, указывающая значения истинности составного высказывания в зависимости от значений истинности исходных высказываний. В левой части таблицы перечисляются все возможные комбинации значений истинности исходных высказываний , а в правой части – значения истинности составного высказывания . Если имеется N исходных высказываний, то число строк таблицы будет равно .

3. Логическая схема, представляющая собой условное графическое обозначение логической операции.

В вычислительной технике и автоматике отдельные высказывания обычно представляются в виде сигналов, имеющих два уровня (0 и 1), или в виде устройств, которые могут принимать два состояния (реле, триггер, транзистор и др). Состояние сигналов в ЭВМ или приборов в системах автоматики определяют значения истинности соответствующих высказываний.

При таком подходе логическая схема представляет собой преобразователь сигналов, который можно использовать для целей управления различными процессами.

Логические операции можно интерпретировать с помощью диаграмм Эйлера – Венна, напоминающих диаграммы геометрической интерпретации тождеств алгебры множеств.

Вопросы для самопроверки

1.9. Определение графа и способы его представления.

1.10. Какие задачи могут решаться с помощью теории графа?

1.11. Как математически могут представляться графы?

1.12. Как формируются простые высказывания в алгебре логики?

1.13. Как изображаются булевы функции?

1.14. Какие логические операции используются в элементарной алгебре высказываний?

Рекомендуемая литература

 

Раздел 3: «Методы построения моделей и идентификации исследуемых процессов, явлений и объектов в машиностроении» (4 часа)

 

Лекция 3. «Методы построения моделей и идентификации исследуемых процессов, явлений и объектов»

(1 час)

План лекции:

3.3. Физико-статистическое моделирование формирования выходных параметров технологических процессов в машиностроении.

3.4. Основы кибернетического моделирования.

3.3. Физико-статистическое моделирование формирования выходных параметров технологических процессов в машиностроении.

В соответствии с ГОСТ 27.004-85, технологическая система – это совокупность функционально взаимосвя­занных средств технологического оснаще­ния, предметов производства и исполни­телей для выполнения в регламентирован­ных условиях производства заданных тех­нологических процессов или операций. К предметам производства относятся материал, заготовка, полуфабрикат и изделие, находящиеся в соответствии с выполняемым технологическим про­цессом в стадии хранения, транспорти­рования, формообразования, обработки, сборки, ремонта, контроля и испытаний.

Для современных технологических систем характерна совокупность взаимосвязанных потоков энергии, материалов и информации, действующая как единое целое, в котором осуществляется определённая последовательность процессов.

Параметрическая надёжность ТС на уровне технологического процесса в работе [1] определяется как его свойство обеспечивать изготовление продукции в заданном объёме, сохраняя во времени установленные требования к её качеству. Причём надёжность технологических систем должна оцениваться только по тем параметрам и показателям качества изделия, уровень которых зависит от технологии и изготовления.

Особенности формирования выходных параметров

технологического процесса не обеспечивают равенство вероятности P_i (t) произведению вероятностей P_iq (t) для каждой операции.

Параметрический отказ ТС – это отказ технологической системы, при котором сохраняется её функционирование, но происходит выход значений одного или нескольких параметров технологического процесса за пределы, установленные в нормативно-технической и (или) конструкторской и технологической документации. Здесь имеются в виду параметры, относящиеся непосредственно к технологической системе.

В этом плане одним из критериев отказа ТС является выход одного из регламентируемых показателей качества детали, указанных в конструкторской и технологической документации, за допустимые пределы. Одним из важнейших показателей безотказности ТС по i -у параметру качества является вероятность выполнения задания, которая для обеспечения одновременно всех m параметров определена:

P { E_{i 1} £ y ₁(t) £ E_{s 1}; E_{i 2} £ y ₂(t) £ E_{s 2}; …; E_im £ y_m (t) £ E_sm } = P (t).

Здесь E_ij, E_{sj 1} – соответственно нижнее и верхнее предельные отклонения для i -го параметра, установленные НТД; y_j (t) – значения j-го параметра в момент t. При этом наработка Т может измеряться в единицах времени, циклах функционирования или в единицах изготовленной продукции.

Вероятность выполнения задания ТС по j -му параметру определяется на основе выражения

P { E_ij £ y_j (t) £ E_sj } £ P_j (t).

В основу оценки показателей надёжности ТС по параметрам качества продукции методом статистического моделирования может быть положен функционально-статистический подход, который базируется на построении модели технологического процесса, связывающей усло­вия обработки, в том числе случайные воздействия, и параметры качества обработанной детали. Такие модели, адекват­но описывая конкретные условия технологического процесса, могут противоречить физическим представлениям о механизме происходящих процессов.

Гораздо предпочтительней концепция нового физико-статистического подхода, которая заключается в том, что структура модели технологического процесса формируется на основе физико-технологического анализа причинно-следственных связей факторов обработки и внешней среды, а выходные параметры определяются статистическими методами. Такой подход может быть принят в качестве основного при постановке и решении большинства задач содержательной части системной методологии исследования надёжности ТС.

Для построения моделей и исследования надёж­ности ТС целесообразно применять метод имита­ционного моделирования, так как он характеризуется высокой эффек­тивностью при сравнительно небольших материальных затратах. Пост­роение и анализ моделей ТС методом имитационного моделирования базируется на основе математико-статистического подхода к анализу сложных систем и предполагает использование метода статистических испытаний (Монте-Карло). Имитационное моделирование ТС включает методологию построения системных моделей, методы алгоритмизации объектов, методы и средства построения программных реализаций имитаторов, планирование организации и выполнение на ЭВМ экспериментов с имитационными моделями, машинную обработку данных и анализ результатов. Таким образом, для оценки показателей надёжности ТС по параметрам качества обрабатываемых деталей необходимо (рис.):

1) построить статистические модели функции ТС вида (181)одним из методов, выбранным по результатам апри­орной деформации;

2) используя соответствующие алгоритмы и программное обеспечение, реализовать машинные эксперименты в выбранной области факторного пространства по схеме Монте-Карло и проанализировать с целью оценки вероятностных характеристик выходных величин моделируемой ТС;

3) спрогнозировать показатели надёжности технологического обеспечения КПС или ПЭС обрабатываемой детали для данной ТС.

Таким образом, в схеме определения показателей надёжности ТС, отвечающей та­кой методологии можно отметить наличие двух этапов исследования: построение и анализ имитационных моделей для ТС (группа А) и расчёт показателей надёжности ТС (группа В).

Построение формальных имитационных моделей наиболее эффективно проводить с помощью активного эксперимента, применяя известные методы корреляционно-регрессион­ного анализа и теории планирования эксперимента.