Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

Как уже знаем, при расчете статически неопределимых систем методом сил исключаются лишние связи, а за неизвестные принимаются силы (усилия) в этих связях. После их вычисления из канонических уравнений можно определять все остальные усилия, а также перемещения, напряжения и деформации системы.

Напряженно-деформированное состояние (НДС) статически неопределимых систем можно устанавливать и по-другому. В этом случае связи не исключаются, а делается наоборот – в систему вводятся дополнительные связи. Тогда за неизвестные принимаются перемещения во введенных связях, которые определяются из канонических уравнений. Поэтому этот метод называется методом перемещений.

Неизвестные метода перемещений

Установим минимальное число узловых перемещений, необходимых для определения напряженно-деформированного состояния статически неопределимой стержневой системы.

С этой целью определим простейшие деформации некоторого стержня АВ стержневой системы, которые он получает при переходе в новое положение под воздействием внешней нагрузки (рис. (10.1 а). Данная задача упрощается, если стержень закрепить по обоим концам и, задавая его концам некоторые независимые перемещения, привести стержень к окончательному деформированному состоянию .

 

Рис. 10.1

Как следует из рисунков, для этого концам закрепленного стержня АВ необходимо последовательно задавать поступательные (линейные) перемещения и (рис. 10.1 б, в), угловые перемещения и (рис. 10.1 г, д), а внутри стержня приложить внешнюю нагрузку (рис. 10.1 е).

При этом от поступательного перемещения всего стержня внутренние усилия и деформации не возникают (на рис. 10.1 б ). Внутренние усилия и деформации от местной нагрузки, действующей в пределах закрепленного стержня АВ, можно найти отдельно. Значит, для определения НДС всего стержня достаточно знать три неизвестных перемещения – два угловых перемещения его концов , и одно поступательное перемещение – взаимное смещение концов стержня . Поэтому степень кинематической неопределимости такого стержня равняется трем.

Выбор основной системы

Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Значит, для ее получения в заданную систему следует ввести столько дополнительных связей, чтобы концы всех стержней были закреплены и исключены их перемещения. Поэтому общее число вводимых связей будет равно числу неизвестных метода перемещений.

Однако число вводимых связей (а значит и число неизвестных метода перемещений) может быть весьма большим. Например, рама на рис. 10.2 а состоит из пяти стержней. По результатам проведенного выше анализа, степень ее кинематической неопределимости (или число неизвестных метода перемещений) будет 5·3=15.

Рис. 10.2

Это число можно уменьшить, если принять следующие гипотезы:

1) поперечные и продольные деформации стержней малы;

2) длина хорды, соединяющей концы изогнутого стержня, равна первоначальной длине стержня;

3) в упругом рамном узле углы между стержнями сохраняются.

Действительно, в этом случае в данной раме достаточно будет знать только три перемещения – поступательное перемещение и два угловых перемещения и (рис. 10.2 а). Таким образом, число неизвестных уменьшилось намного – с пятнадцати до трех.

Из третьей гипотезы следует, что число неизвестных угловых перемещений будет определяться по формуле

= числу упругих рамных узлов.

Для определения числа неизвестных поступательных перемещений (в дальнейшем их будем называть линейными перемещениями) во все узлы рамы, включая и опоры, нужно ввести шарниры (рис. 10.2 б). Тогда число линейных перемещений будет легко определяться по известной формуле кинематического анализа для фермы

.

В рассматриваемой раме имеем =2× 6 – 5 – 6 =1.

Общее число всех неизвестных перемещений определяется по формуле

= +

и называется степенью кинематической неопределимости. Сами неизвестные перемещения обозначаются однотипно: , , ,..., .

После определения числа неизвестных в ЗС следует вводить столько же связей для исключения перемещений концов ее стержней. Например, в рассмотренную раму введем две заделки и одну опорную связь. Полученная схема (рис. 10.2 в) будет основной системой (ОС) метода перемещений.

Таким образом, для получения ОС метода перемещений необходимо:

– в упругие рамные узлы заданной системы ввести заделок;

– в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввести опорных связей (они вводятся так, чтобы система с введенными шарнирами стала геометрически неизменяемой).

Введенные связи, хотя внешне и похожи на обычные опорные связи, от них принципиально отличаются, потому что: 1) введенная заделка исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения; 2) введенная опорная связь исключает только линейное перемещение узла, оставляя возможность поворота (рис. 10.2 г, д).

При соблюдении этих требований ОС метода перемещений будет единственной.

Пусть необходимо выбрать ОС метода перемещений для рамы (рис. 10.3 а). Она имеет четыре жестких узла. Значит, число угловых неизвестных =4. Для определения числа линейных неизвестных во все узлы и опоры рамы введем шарниры (рис. 10.3 б). Тогда имеем: . Поэтому общее число неизвестных будет + =4+2=6. Вводя в жесткие узлы ЗС четыре заделки и две опоры, исключающие линейные перемещения узлов рамы (последние вводятся так, чтобы механизм на рис. 10.3 б стал геометрически неизменяемым), получаем требуемую ОС (рис. 10.3 в).

Рис. 10.3

Сущность метода перемещений

Данный вопрос изучим на следующем примере (рис. 10.4 а). Эта рама четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 10.4 б.

Рис. 10.4

При использовании же метода перемещений раму следует превратить в кинематически определимую. Для этого в ЗС достаточно ввести + =1+0=1 кинематическую связь. Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим ОС показанную на рис. 10.4 в.

Потребуем, чтобы усилия и деформации ОС были такими же как у ЗС. Для этого перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы j (рис. 10.4 а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 10.4 в) должен равняться нулю:

R =0.

Эту реакцию определим, рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение Z=1 и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 10.4 г). Такая реакция от единичного перемещения называется жесткостью.

В грузовом состоянии приложим только внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию R_P (рис. 10.4 д).

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции наше уравнение приводится к виду

r · Z+ R_P =0.

Оно называется каноническим уравнением метода перемещений. Если известны реакции r и R_P, то из него можно найти величину узлового перемещения:

Z= – R_P /r.

Если степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n, ее ОС получается введением n дополнительных связей с неизвестными Z₁, Z₂, …, Z_n. Чтобы ОС была эквивалентна ЗС, реакции во введенных связях должны равняться нулю. С учетом этого можно записать n уравнений. После рассмотрения n единичных состояний, одного грузового состояния и дальнейшего определения реакций (реактивных усилий) во всех состояниях, эти уравнения приводятся к следующему виду:

...........

Все вместе они называются системой канонических уравнений метода перемещений. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены являются грузовыми коэффициентами.

После введения матриц и векторов

r = , Z = , R_P = , 0 =

система канонических уравнений записывается в матричной форме: r · Z + R_P = 0,

где r – матрица жесткости, Z – вектор неизвестных, R_P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. Отсюда определяется вектор неизвестных:

Z = – r^–1 R_{P ,}

где r ^{– 1} – обратная матрица жесткости.

В о п р о с ы

1. Какие величины являются неизвестными метода перемещений?

2. Что такое степень кинематической неопределимости?

3. Какие гипотезы принимаются при расчете рам методом перемещений?

4. Как определяется основная система метода перемещений?

5. Что называется жесткостью?

6. В чем заключается сущность метода перемещений?

7. Как записывается система канонических уравнений метода перемещений?

Л е к ц и я 11