До розрахунку параметрів лінійної регресії, теоретичних рівнів і залишкових величин

 

Номер господарства	Кількість внесених добрив х, д.р	Урожайність зернових у, и/га	ху	х^2	У	у-у	(У-Y)^2
	1,1		25,3	1,21		-1
	1,4		35,0	1,96		_2
	1,2		31,2	1,44
	2,0		66,0	4,00
	1,5		40.5	2,25		-1
	1,3	2,8	36,4	1,69
	1,8		54,0	3,24		-1
	1,7		54,4	2,89
Разом	12,0		342,8	18,68		X

Користуючись цими величинами, визначаємо:

Серед мір щільності зв'язку найпоширенішим є коефіцієнт кореляції Пірсона. Позначається цей коефіцієнт символом г. Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово «лінійний». Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції г грунтується на відхиленнях значень взаємозв'язаних ознак х і у від середніх.

За наявності прямого кореляційного зв'язку будь-якому значенню х, >х відповідає значення у,>у, а х_к<х відповідає у_к <у. Узгодженість варіації х і у схематично показано на рис. 7.2 у вигляді кореляційного поля зі зміщеною системою координат.

Рис. 7.2. Узгодженість варіації взаємозв'язаних ознак

Точка, координатами якої є середні х і у, поділяє кореляційне поле на чотири квадранти, в яких по-різному поєднуються знаки відхилень від середніх:

 

Квадрант	(х- х)	0'-.у)
І	+	+
II	-	+
III	-	-
IV	+	-

Для точок, розміщених у І та III квадрантах, добуток (х-х)(у-у) додатний, а для точок з квадрантів II і IV — від'ємний. Чим щільніший зв'язок між ознаками х і у, тим більша

алгебраїчна сума добутків відхилень t(x-x)(y-y). Гранична

і

сума цих добутків дорівнює J'Z(x-x)²'Z(y -у)².

Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначених сум:

Очевидно, що в разі функціонального зв'язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції r = ±1; при кореляційному зв'язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв'язок.

На практиці застосовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції. Для оцінювання щільності зв'язку між кількістю внесених добрив та врожайністю зернових скористаємося однією з модифікацій зазначеної формули:

п

^ху'-пху

"^

За даними табл. 7.3 £ху = 342,8; 2" = 1,5; о] = 0,085; у = 28;

і

с² =10,5.

у

Згідно з цими значеннями коефіцієнт кореляції становить 0,900, що свідчить про вагомий вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових:

_r= 342,8-8-1,5.28 _=a90Q VO,085-10,5

Коефіцієнт кореляції, оцінюючи щільність зв'язку, указує також на його напрям: коли зв'язок прямий, г — величина додатна, а коли він зворотний — від'ємна. Знаки коефіцієнтів кореляції і регресії однакові, величини їх взаємозв'язані функціонально:

а о

г = &—*-; Ь- r—.

а с

У х

Завдяки цьому один коефіцієнт можна обчислити, знаючи інший. Наприклад:

_{г =} 10,0 (^ = 0,900. \ 10,50

Вимірювання щільності нелінійного зв'язку ґрунтується на співвідношенні варіацій теоретичних та емпіричних (фактичних) значень результативної ознаки у. Як зазначалося в під-розд. 5.6, відхилення індивідуального значення ознаки у від середньої^-") можна розкласти на дві складові. У регресійному

аналізі це відхилення від лінії регресії (у - Y) та відхилення лінії регресії від середньої (У - у).

Відхилення (Y-у) є наслідком дії фактора х, відхилення (у-К) — наслідком дії інших факторів. Взаємозв'язок факторної та залишкової варіацій описується правилом декомпозиції варіації:

2 <? 2 1

а_у=Ь_г+о;,

2 1 " / \і

загальна дисперсія ознаки у;

п і

Де °,=-і(у-.уУ —

5_К = —2ДУ-.у) = — («£ хt-bb^xy)- у —факторна дисперсія;
п і п

2 1 " / 42

сГ=—2ДУ-У) —залишкова дисперсія.

Очевидно, значення факторної дисперсії б£ буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора х на у. Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв'язку і називається коефіцієнтом детермінації:

Якщо за даними табл. 7.3 с^=10,5, с² =2,0, то б². =10,5-2,0 = 8,5. Аналогічний результат дають такі обчислення:

аі = -(13 • 224 +10 ■ 342,8)- 28² = 8,5. ^г 8

8 5 Коефіцієнт детермінації становить R² = -4— = 0,81,

10,5

тобто 81% варіації врожайності зернових залежить від варіації

кількості внесених добрив, а 19% припадає на інші фактори.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляції R. Коли зв'язок лінійний, R=\r\, що підтверджують обчислення: R = ^R² = -^0,81 =0,90. Тому за відомим лінійним коефіцієнтом кореляції г можна визначати внесок ознаки х у варіацію ознаки у. Так, при г - 0,6 можна сказати, що 36% варіації у залежить від варіації х.

На таких самих засадах ґрунтується оцінювання щільності зв'язку за даними аналітичного групування. їМірою щільності зв'язку є кореляційне відношення

г 5^г

де 5² — міжгрупова дисперсія, яка вимірює варіацію ознаки у під впливом фактора х, а а" — загальна дисперсія.

Застосуємо кореляційне відношення для оцінювання щільності зв'язку між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля (див. табл. 7.2). Розрахунки загальної та факторної дисперсій подано в табл. 7.4 та 7.5. Згідно з розрахунками загальна дисперсія становить 5,19, факторна — 3,86:

тобто 74,5% варіації фондомісткості вугілля на шахтах регіону пояснюється варіацією глибини розробки пластів.

Таблиця 7.4

ДО РОЗРАХУНКУ ЗАГАЛЬНОЇ ДИСПЕРСІЇ ФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ (у = 23,5)

 

Фондомісткість, грн. / т	18—20	0—22	22—24	24—26	26—28	Разом
Кількість шахт /,
У,						X
У і - У	-4,5	-2,5	-0,5	1,5	3,5	X
(y,-yff,	182,25	93,75	8.5	63,0	171,5

Таблиця 7.5

ДО РОЗРАХУНКУ ФАКТОРНОЇ ДИСПЕРСІЇ ФОНДОМІСТКОСТІ ВУГІЛЛЯ (у = 23,5)

 

Глибина розробки пластів, м	//	у,	у | - у	Ь=іН
До 300		20,0	-3,5	208,25
300 — 500		22,9	-0,6	14,40
500 — 700		24,8	1,3	42,25
700 і оільше		26,1	2,6	121,68
У цілому		23,5	X	386,58

Обчислення та інтерпретація коефіцієнта детермінації R² і кореляційного відношення Г)² показують: ці характеристики щільності зв'язку за змістом ідентичні, вони характеризують внесок фактора х у загальну варіацію результату у.

Перевірка істотності кореляційного зв'язку ґрунтується на порівнянні фактичних значень R² і Г]² з критичними, які могли б виникнути за відсутності зв'язку. Якщо фактичне значення J? чи Г|² перевищує критичне, то зв'язок між ознаками не випадковий. Гіпотеза, що перевіряється, формулюється як нульова:

H₀:R²=0 або Я₀:г)²=0.

Критичні значення характеристик щільності зв'язку для рівня істотності а = 0,05 і відповідного числа ступенів свободи для факторної дисперсії к[ і залишкової к₂ наведено в табл. 7.6. Ступені свободи залежать від обсягу сукупності п та числа груп або параметрів функції т, тобто к\ = т - 1 ,к₂ = п - т.

Таблиця 7.6

КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ДЕТЕРМІНАЦІЇ R² І КОРЕЛЯЦІЙНОГО ВІДНОШЕННЯ ц² ДЛЯ РІВНЯ ІСТОТНОСТІ а =

Цей коефіцієнт має такі самі властивості, як і лінійний коефіцієнт кореляції: змінюється в межах від - 1 до + 1, водночас оцінює щільність зв'язку та вказує на його напрям.

Визначимо коефіцієнт рангової кореляції за даними експертних оцінок ефективності економіки та ступеня політичного ризику для семи країн з перехідною економікою (табл. 7.7). Оскільки експертні оцінки представлені балами, необхідно провести ран-жування країн. За оцінками ефективності економіки країні з найбільшим балом надається ранг 1, з найменшим — ранг п - 7. За оцінками ступеня політичного ризику, навпаки, ранг 1 надається країні з найменшим ризиком, а ранг 7 — країні з найбільшим ризиком.

Таблиця 7.7