Непараметричні показники зв’язку. Рангові коефіцієнти зв’язку.

Для виявлення та вимірювання зв¢язків між якісними ознаками часто використовують непараметричні методи, які називають ранговими методами кореляції. Для обчислень викорстовують не самі значення ознак, а їх знаки, ранги, частоти.

Коефіцієнт Спірмана називають ранговим коефіцієнтом кореляції. Ранг - це порядковий номер ознаки у зростаючому ряді розподілу.

Позначимо: R_х - ранг ознаки «х»; R_у - ранг ознаки; п - число варіант; d_і= R_х- R_у -різниця рангів.

Коефіцієнт Спірмана обчислюють за формулою:

, (7.12.)

де . (7.13.)

Якщо R=1, то зв'язок між ознаками прямий.

Якщо R= -1, то зв'язок між ознаками обернений.

ПРИКЛАД 7.3:Визначити зв’язок між вартістю основних виробничих фондів та виробітком одного робітника (продуктивністю праці).

Таблиця 7.7. Показники роботи десяти підприємств

Номер підприємства	Вартість основних виробничих фондів, тис.грн.	Виробіток одного робітника, тис.грн.	Ранг
					-1
					-2
					-4
					-4
					+4
					+3
					+2
					+2
Разом	х	х	х	х	х

.

Отже, коефіцієнт кореляції рангів Спірмена вказує на помітний прямий звязок між вартістю основних виробничих фондів і продуктивнісю праці.

 

 

 

1. Види взаємозв’язків.

2. Регресійний аналіз.

3. Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного зв’язку.

Види взаємозв’язків.

Усі явища навколишнього світу, соціально-економічні зокрема, взаємозв'язані й взаємозумовлені. У складному переплетенні всеохоплюючого взаємозв'язку будь-яке явище є наслідком дії певної множини причин і водночас — причиною інших явищ. Причини та наслідки пов'язані неперервними ланцюгами прямо або опосередковано, що схематично ілюструє рис. 5.1. Так, незалежне в межах зображеного графа зв'язку явище х, є причиною явищ х2, х3, х5. Із них явище х3, у свою чергу, впливає нах4, а*4 — нах5.

Поряд із причинними існують зв'язки паралельних явищ, на які впливає спільна причина. На рис. 5.1 це зв'язок між х2 і х3, які мають спільну причину х\.

Визначальна мета вимірювання взаємозв'язків — виявити і дати кількісну характеристику причинних зв'язків. Суть причинного зв'язку полягає в тому, що за певних умов одне явище спричинює інше. Причина сама по собі не визначає наслідку, останній залежить також від умов, в яких діє причина. Вивчаючи закономір-

Рис. 7.1. Граф взаємозв'язків Н°сті ЗВ'ЯЗКУ' пРи™ни та умови

оо єднують в одне поняття «фактор». Відповідно ознаки, які характеризують фактори, називаються факторними, а ті, що характеризують наслідки, — результативними.

Аналіз характеру взаємозв'язків та оцінювання сили впливу факторів на результат є передумовою розробки науково обгрунтованих управлінських рішень, прогнозування й регулювання складних соціально-економічних явищ і процесів.

Розрізняють два типи зв'язків — функціональні та стохас-тичні. У разі функціонального зв'язку кожному значенню фактора х відповідає одне або кілька чітко визначених значень у. Такою, наприклад, є залежність довжини ртутного стовпчика від температури навколишнього середовища. Знаючи х, можна в кожному окремому випадку точно визначити результат у. Скажімо, при проведенні валютних операцій для переведення суми в національній валюті С в еквівалентну їй суму в іноземній валюті S використовують валютний курс L: S = С: Ы навпаки С = S ■ L.

У соціально-економічних науках до функціонального типу належать зв'язки між показниками — адитивні (a + b + с) або муль-типлікативні (a -be, с = alb), а також залежність середніх величин від структури сукупності (див. підрозд. 9.5—9.6).

На відміну від функціональних, стохастичні зв'язки неоднозначні. Наприклад, залежність захворюваності населення від екологічного стану довкілля. На забруднених радіонуклідами територіях, як і на інших, стан здоров'я мешканців коливається від «тяжко хворого» до «практично здорового». Проте в середньому в таких регіонах порівняно з екологічно чистими захворюваність значно вища.

Стохастичні зв'язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв'язку «х —>у» кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. Стохастичний зв'язок, відбиваючи множинність причин і наслідків, виявляється в зміні умовних розподілів, що схематично ілюструє табл. 7.1.

Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром — середньою уп то такий зв'язок називають кореляційним. Отже, кореляційний зв'язок є різновидом стохастичного і виявляється зміною середніх умовних розподілів.

Таблиця 7.1

ВИДИ ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКІВ І ЇХ ОСОБЛИВОСТІ

 

 

Факторна ознаках,	Результативна ознака у за наявності зв'язку
функціонального	стохастичного	кореляційного
Хі	У\	У\Уі	У\
хг	Уг	У\ Уг Уз	Уг
х3	Уъ	У2 УЗ У4	Уз
%т	Ут	Ут-\ Ут	Ут

Наявність стохастичного зв'язку можна виявити, скориставшись комбінаційним розподілом елементів сукупності. Такий розподіл наведено в табл. 7.2. Сукупність шахт регіону поділено на групи за двома ознаками: х — глибиною розробки вугільних пластів і у — фондомісткістю видобутку вугілля. Кожна група за глибиною розробки пласта характеризується своїм особливим розподілом шахт за фондомісткістю видобутку вугілля. Це умовні розподіли. Порівняння умовних розподілів указує на тенденцію підвищення фондомісткості зі зростанням глибини Розробки пластів. Звичайно, для кожної окремої шахти така залежність може не виявитись через вплив інших факторів. Певні межі варіації фондомісткості характерні для кожної групи. Так,

на шахтах, де глибина розробки пластів 500... 700 м, фондомісткість коливається в межах від 18 до 26 грн. за тонну. Проте середній рівень фондомісткості в цій групі вищий порівняно з попередньою групою (300...500 м) і нижчий порівняно з наступною (700 і більше):

Середні рівні фондомісткості видобутку вугілля наведено в останній графі таблиці. Зростання групових середніх від групи до групи свідчить про наявність кореляційного зв'язку між глибиною розробки пласта і фондомісткістю вугілля. Отже, кореляційний зв'язок, як і стохастичний, — це властивість сукупності в цілому, а не окремих її елементів.

Таблиця 7.2

КОМБІНАЦІЙНИЙ РОЗПОДІЛ ШАХТ ЗА ГЛИБИНОЮ РОЗРОБКИ ПЛАСТІВ ТА ФОНДОМІСТКІСТЮ ВУГІЛЛЯ

 

 

 

Глибина розробки пласта, м	Кількість шахтз рівнем фондомісткості, грн. /т	Середній рівень фондомісткості, грн. / т
До 20	20—22	22—24	24—26	26 і більше	Разом
До 300 300—500 500—700 700 і більше		7, 8	27 6	5 15 8	4 10	17 40 25 18	20,0 22,9 24,8 26,1
По сукупності в цілому							23,5

Отже, можна не лише стверджувати, що існує кореляційний зв'язок між факторною х і результативною >> ознаками, а й визначати, як у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю. Ефекти впливу х на у визначаються відношенням приростів середніх групових цих величин Ду: Ах Наприклад, у другій групі порівняно з першою глибина розробки вугільного пласта більша на 200 м, а фондомісткість видобутку вугілля на 22,9 - 20,0 = 2,9 грн. / т. Звідси

Тобто, зі зростанням глибини розробки пласта на 100 м фондомісткість зростає в середньому на 1,45 грн. / т.

Аналогічно розраховані ефекти впливу глибини розробки пласта на фондомісткість вугілля у третій групі становлять 0,95, у четвертій — 0,65 грн. на тонну вугілля.

7.2. Регресійний аналіз

Важливою характеристикою кореляційного зв'язку є лінія регресії—емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу. Емпірична лінія регресії представлена груповими середніми результативної ознаки yf, кожна з яких належить до відповідного інтервалу значень групувального фактора Xj. Теоретична лінія регресії описується певною функцією Y = f(x), яку називають рівнянням регресії, а У — теоретичним рівнем результативної ознаки.

На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперервна. Так, уважають, що маса дорослої людини в кілограмах має бути на Ґ00 одиниць менша за її зріст у сантиметрах. Співвідношення між масою і зростом можна записати у вигляді рівняння: у = -100 + х', де'у — маса; х — зріст.

Безперечно, така форма зв'язку між масою та зростом людини надто спрощена. Насправді збільшення маси не жорстко пропорційне до збільшення зросту. Люди одного зросту мають різну масу, проте в середньому зі збільшенням зросту маса зростає. Для точнішого відображення зв'язку між цими ознаками в рівняння слід увести другий параметр, який був би коефіцієнтом пропорційності при х, тобто Y = - 100 + Ьх.

Рівняння регресії в такому вигляді описує числове співвідношення варіації ознак хХу в середньому. Коефіцієнт пропорційності при цьому відіграє визначальну роль. Він показує, на скільки одиниць у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю. У разі прямого зв'язку Ъ — величина додатна, у разі оберненого — від'ємна.

Подаючи у як функцію х, тим самим абстрагуються від множинності причин, штучно спрощуючи механізм формування варіації у. Аналіз причинних комплексів здійснюється за допомогою множинної регресії.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того щоб відобразити характерні особливості зв'язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом Регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результату змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією Y-a + bx. Коли йдеться про нерівномірне

співвідношення варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), застосовують нелінійні регресії, зокрема:

степеневу Y = ахь;

гіперболічну у = а + —;

х параболічну Y = а + Ьх + сх2 тощо.

Вибір та обгрунтування функціонального виду регресії грунтується на теоретичному аналізі суті зв'язку. Нехай вивчається зв'язок між урожайністю та кількістю опадів. Надто мала і надто велика кількість опадів спричинюють зниження врожайності, максимальний її рівень можливий за умови оптимальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожайність спершу зростає, а потім зменшується. Залежність такого роду описується параболою Y - а + Ьх + сх2.

Вивчаючи зв'язок між собівартістю у та обсягом продукції х,

b використовують рівняння гіперболи К = а + -, де а — пропорційні

X

витрати на одиницю продукції, b — постійні витрати на весь випуск.

Зауважимо, що теоретичний аналіз суті зв'язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не може точно визначити її функціонального виду. До того ж у конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємозв'язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке застосування лінійних рівнянь регресії:

У = а + Ьх.

Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу х на у. Параметр а — вільний член рівняння регресії, це значення у при х = 0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого — мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних Y:

X(y-F)2 = min.

Математично доведено, що значення параметрів а та Ь, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь:

2 у = na + b'Јx, YJxy = aЈ,x + bYJx2.

Розв'язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:

b = nZxy--Y^Ly_ «5>2-І>І>'

a = y-bx.

Розглянемо порядок обчислення параметрів лінійної регресії на прикладі зв'язку між урожайністю зернових і кількістю внесених добрив (у центнерах діючої поживної речовини — д. р.). Значення взаємозв'язаних ознак та необхідні для розрахунку параметрів величини наведено в табл. 7.3.

Таблиця 7.3