Возрастание и убывание функций

Функция y = f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых точек x ₁ и х ₂, принадлежащих данному интервалу, из условия х ₁ < x ₂, следует неравенство f (x ₁) < f (x ₂).

Функция y = f (x) называется неубывающей на некотором интервале, если для любых точек x ₁ и х ₂, принадлежащих данному интервалу, из условия х ₁ < x ₂, следует неравенство f (x ₁) f (x ₂).

Функция y = f (x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых точек х ₁ и х ₂, принадлежащих этому интервалу, из условия х ₁ < х ₂, следует неравенство f (x ₁) > f (x ₂).

Функция y = f (x) называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых точек х ₁ и х ₂, принадлежащих этому интервалу, из условия х ₁ < х ₂, следует неравенство f (x ₁) f (x ₂).

Функция y = f (x) называется монотонной на некотором интервале, если она на этом интервале только возрастающая (неубывающая) или только убывающая (невозрастающая).

Критерий возрастания и убывания функций

 

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда для того, чтобы функция f (x) была возрастающей на этом отрезке и необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f ¢(x) > 0 для любого .

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда для того, чтобы функция f (x) была убывающей на этом отрезке и необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f ¢(x) < 0 для любого .

Если монотонная на интервале (a, b) функция дифференцируема на этом интервале, то ее производная не меняет знака на интервале (a, b).

Экстремумы функции

Если существует такая двусторонняя окрестность точки х ₀, что для любой точки х ¹ х ₀ из этой окрестности верно:

a) f (x) > f (x ₀),

тогда x ₀ – точка локального минимума функции (рис. 4.3);

Рис. 4.3

б) f (x) < f (x ₀),

тогда х ₀ – точка локального максимума функции (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Точки локального минимума и локального максимума функции называют точками локального экстремума.

Необходимое условие экстремума

Функция f (x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная равна нулю (f ¢(x ₀) = 0) или не существует.

Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называются стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю, или не существует, называются критическими точками функции.

Необходимое условие не является достаточным, т. е. из того, что производная некоторой функции в данной точке обращается в ноль (или не существует) еще не следует, что эта точка обязательно будет точкой экстремума.

Например, рассмотрим функцию . Производная этой функции обращается в ноль в точке . Но функция не имеет экстремума в точке . Или функция , для которой производная в точке не существует, не имеет экстремума в точке .

Достаточное условие экстремума

1. Первый достаточный признак экстремума.

Пусть f (x) непрерывна в некоторой окрестности
(х ₀ – d, x ₀ + d) критической точки х ₀ , дифференцируема в ее проколотой окрестности, тогда:

а) если
то х ₀ – точка максимума функции (рис. 4.5);

Рис. 4.5

б) если
то х ₀ – точка минимума функции (рис. 4.6).

Рис. 4.6

2. Второй достаточный признак экстремума.

Пусть в точке функция имеет первую и вторую производную. Точка есть точка экстремума функции , если , а , причем

если , то - точка локального минимума

, то - точка локального максимума.