Практичні задачі на знаходження найбільшого (найменшого) значення

Задачі на знаходження найбільшого (найменшого) значення деякої величини відіграють значну роль у природничих, технічних та економічних дослідженнях. Часто ці задачі зв’язані з доцільним і одночасно економним витрачанням тих чи інших матеріалів.

Розв’язання практичних (текстових) задач на екстремум рекомендуємо проводити згідно такої схеми:

1.Визначити, для якої величини вимагається знайти найбільше (найменше) значення. Ця величина і буде досліджуваною функцією.

2.Скласти аналітичний вираз для досліджуваної функції.

3.Серед величин, від зміни яких залежить зміна функції, вибрати одну за незалежну змінну (за аргумент). Виразити досліджувану функцію через аргумент (для цього умови задачі повинні дати достатнє число співвідношень між змінними).

4.Із самої суті прикладної задачі встановити область визначення функції (проміжок зміни аргументу).

5.Розв’язати задачу на знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на цьому проміжку (він може бути і необмеженим).

Доповнення до схеми: 1) При розв’язанні текстових задач (особливо задач геометричного змісту) бажано зробити рисунок, який допоможе виразити змінні, що входять в умову задачі, через одну із них. 2) В прикладних задачах частіше всього трапляється випадок, коли всередині проміжку маємо тільки одну критичну точку. Якщо в цій точці неперервна функція має локальний максимум (мінімум), то він і є найбільше (найменше) значення. 3) Інколи міркування чисто фізичного або геометричного характеру дають можливість легко судити про те, яка критична точка дає максимум, а яка мінімум. Це звільняє від необхідності подальшого аналітичного дослідження на екстремум.

Задача 1. Сума двох додатних чисел дорівнює а. Які мають бути ці числа, щоб їхній добуток був найменшим?

Розв’язання. Позначимо через x один із доданків. Тоді другий доданок дорівнює a–x. Якщо через f позначимо добуток цих доданків, то маємо Задача звелась до знаходження найбільшого значення функції на проміжку (0; а). Знаходимо критичні точки функції f(x): – єдина критична (стаціонарна) точка, причому . Покажемо, що при функція f(x) набуває максимального значення. Використаємо другу достатню ознаку екстремуму: всюди (а значить і при ). Тому при функція досягає максимуму, який і буде найменшим значення функції f(x) на проміжку (0; а).

Отже, добуток двох додатних чисел, сума яких дорівнює а, буде найбільшим, коли ці числа однакові (обидва доданки дорівнюють ).

Задача 2. Знайти максимальну площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює l.

Розв’язання. Нехай x – висота трикутника (рис. 34). Площа трикутника Оскільки то площа трикутника Таким чином, площа трикутника виражена як функція його висоти. Потрібно знайти найбільше значення функції на відрізку [0; l ].

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: . Так як площа – величина невід’ємна, то функція S(x) досягає максимуму на інтервалі (0; l). Знайдемо критичні точки, які належать цьому інтервалу. Якщо ця точка єдина (а це дійсно так), то вона і буде точкою максимуму функції S(x) на інтервалі (0; l).

Нас цікавить тільки критична (стаціонарна) точка бо точка .

Отже, на інтервалі (0; l) знаходиться єдина критична (стаціонарна) точка, яка і буде точкою максимуму і одночасно точкою найбільшого значення функції. Обчислимо максимальну площу трикутника:

Максимальну площу буде мати прямокутний трикутник.

Задача 3. Залізнична колія проходить по прямій AB=r. В стороні на відстані l від залізниці знаходиться завод C, із якого перевозять вантаж в місто A. Завод потрібно з’єднати шосейною дорогою із залізницею. Вартість перевезень автотранспортом в 3 рази дорожча вартості перевезень залізницею. Виникає запитання: як провести шосе СР до залізниці, щоб вартість перевезень від заводу С до міста А була найменшою?

Розв’язання. Припустимо, що ми перевозимо вантаж від заводу С спочатку автотранспортом до деякого пункту Р на залізниці, а потім залізницею до міста А. Ясно, що шосейна дорога повинна бути прямолінійною, а пункт Р не може лежати ліворуч точки В або праворуч точки А (рис. 35).

Введемо позначення BP=x, тоді x змінюється в межах , а шлях перевезення вантажу залізницею PA=r–x.

Нехай k – вартість перевезень залізницею (вартість тонно-кілометра); тоді 3k – вартість перевезень автотранспортом. Оскільки

то загальна вартість перевезень вантажу W від заводу С до міста буде такою: Так як k=const, то задача зводиться до знаходження найменшого значення функції на відрізку [0; l ]. Знайдемо критичні точки функції f(x), які належать інтервалу (0; l).

– єдина критична (стаціонарна) точка, яка належить інтервалу (0; l), бо Переконаємося, що це точка мінімуму функції f(x). Знайдемо другу похідну функції f(x): Очевидно, що для всіх x, в тому числі і для стаціонарної точки . Тому згідно з другою достатньою ознакою екстремуму точка є точкою мінімуму функції А оскільки ця стаціонарна точка єдина на [0; l ], то вона одночасно є точкою, де функція f(x) досягає найменшого значення на відрізку [0; l ].

Таким чином, транспортні витрати мінімальні, якщо вантаж перевозять шосейною дорогою до пункту Р, який знаходиться на відстані від точки В.

Зауваження. В процесі розв’язання ніде не використовувалась величина r – відстань між точками В та А. Це означає, що завжди вигідно везти вантаж до залізниці під певним кутом незалежно від того, на яку відстань він перевозиться. Цей кут залежить лише від співвідношення між вартостями перевезень залізницею і автотранспортом:

Задача 4. Нехай витрати виробництва K(x) визначає функція де – обсяг продукції При якому значенні середні витрати виробництва мінімальні?

Розв’язання. Середні витрати виробництва розраховуємо згідно з формулою Потрібно знайти найменше значення функції на заданому проміжку.

Знаходимо першу похідну: Знаходимо критичні точки функції П(x): – єдина критична (стаціонарна) точка. Покажемо, що в цій точці функція досягає мінімуму. Знайдемо другу похідну: для всіх x, а значить і для стаціонарної точки x =4. На підставі другої достатньої ознаки екстремуму ця точка є точкою мінімуму і одночасно точкою, в якій функція набуває найменшого значення.

Таким чином, мінімальні середні витрати виробництва складають:

 

ВАРІАНТ 1

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-1;3].

4. Серед усіх циліндрів, які можуть бути вписані в конус з радіусом основи r=12 см і висотою h=36 см, знайти циліндр найбільшого об’єму.

5. Дослідити функцію і побудувати її графік:

ВАРІАНТ 2

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [0;4].

4. Які розміри повинен мати циліндр найбільшої повної поверхні, вписаний в кулю радіуса R=5 см?

5. Дослідити функцію та побудувати графік: .

ВАРІАНТ 3

1. Знайти похідні:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці (-1;2).

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Знайти значення довжини його основи, при якому площа трикутника найбільша.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

ВАРІАНТ 4

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку [-2;2].

4. Поверхня прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою дорівнює . Які розміри його ребер, коли його об’єм V найбільший?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік: .

ВАРІАНТ 5

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку [-3;5].

 

4. З куска дроту 50 см завдовжки зігнути прямокутник, який має найбільшу площу.

5. Дослідити функцію і побудувати її графік: .

 

ВАРІАНТ 6

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти точки, в яких дотичні до кривої паралельні осі абсцис.

4. Бічні сторони і менша основа трапеції дорівнюють по 10 см. Визначити її більшу основу так, щоб площа трапеції була найбільшою.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 7

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [1;e].

4. Довести, що з усіх рівнобедрених трикутників з заданим периметром найбільшу площу має рівносторонній трикутник.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 8

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

4. Відкритий кузов вантажного автомобіля має форму прямокутного паралелепіпеда з площею поверхні 2 S. Якими повинні бути довжина і ширина кузова, щоб його об’єм був найбільшим, а відношення довжини до ширини дорівнювало

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

ВАРІАНТ 9

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. До кривої проведена дотична, паралельна

осі Ox. Знайти координати точки дотику.

4. В прямокутний трикутник з катетами, що дорівнюють 2 см і

4 см, впишіть прямокутник найбільшої площі зі сторонами, паралельними катетам трикутника.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 10

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [1;5].

4. В конус радіуса 4 дм і висотою 6 дм вписано циліндр найбільшого об’єму. Знайти цей об’єм.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 11

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Задане додатне число а розкласти на два доданки так, щоб їхній добуток був найбільшим.

5. Дослідити функцію та побудувати графік:

 

ВАРІАНТ 12

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння нормалі до графіка функції

в точці перетину з бісектрисою першого координатного кута.

4. Знайти на параболі точку, найближчу до точки

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 13

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-3;0].

4. У прямокутний трикутник з гіпотенузою 8 см і кутом вписано прямокутник, основа якого розміщена на гіпотенузі. Які повинні бути розміри прямокутника, щоб його площа була максимальною?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 14

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці з абсцисою 2.

4. Сума катетів прямокутного трикутника стала і дорівнює а >0. Для якого трикутника гіпотенуза має найменшу довжину?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 15

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці (-1;2).

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Знайти значення довжини його основи, при якому площа трикутника найбільша.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 16.

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. На кривій задано дві точки А (-1;-1) і В (2;8). В якій точці кривої дотична до неї буде паралельна проведеній січній АВ?

4. При якому значенні довжини висоти прямокутна трапеція з гострим кутом і периметром 4 см має найбільшу площу?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 17

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-1;3].

4. Серед усіх прямокутників з даною площею S знайти прямокутник з найменшим периметром.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

ВАРІАНТ 18

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. В яких точках кривої дотична до неї паралельна прямій .

4. Серед усіх прямокутників з даним периметром 2 р знайти той, у якого діагональ найменша.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 19

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Знайти на гіперболі точку, найближчу до

точки (3;0).

4. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 20

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільшу та найменше значення функції

на відрізку

4. Гіпотенуза прямокутного трикутника . Якими повинні бути катети а і b, щоб периметр трикутника був найбільшим?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 21

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-4;4].

4. Сума двох чисел дорівнює а. Якими мають бути ці числа, щоб сума їхніх квадратів була найменшою?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 22

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-2;3].

4. Основа трикутника дорівнює 12 см, а сума бічних сторін – 20см. Знайти таке значення висоти трикутника, щоб його площа була найбільшою.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 23

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-1;2].

4. Довести, що якщо добуток двох додатних чисел є стале число, то їхня сума буде найменшою, коли ці числа рівні між собою.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік: .

 

ВАРІАНТ 24

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Якою повинна бути основа рівнобедреного трикутника з заданою площею S, щоб його периметр був найбільшим?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 25

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння такої дотичної до параболи , яка паралельна до прямої .

4. Ділянка землі має форму паралелограма з гострим кутом . При яких розмірах її сторін дротом довжиною l =24 м можна огородити найбільшу площу?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 26

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше значення функції на відрізку [1;6].

4. Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайти найбільший об’єм такого циліндра.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 27

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Який кут утворює з віссю Ox отична до параболи що проведена в точці Р (2;3)? Написати рівняння цієї дотичної.

4.Знайти найбільшу площу прямокутника, вписаного в круг радіуса R.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 28

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3.Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Знайти найбільший об’єм конуса, твірна якого дорівнює l.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 29

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [0;5].

4. Яке додатне число, будучи складеним з оберненим йому числом, дає найменшу суму?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 30

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння такої нормалі до параболи , яка перпендикулярна до прямої .

4. Який із прямокутних трикутників даного периметра 2 р має найбільшу площу?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

ВАРІАНТ 1*

1.Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Сума катетів прямокутного трикутника стала і дорівнює Для якого трикутника гіпотенуза має найменшу довжину?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 2*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці з абсцисою 2.

4. Відкритий кузов вантажного автомобіля має форму прямокутного паралелепіпеда з площею поверхні 2S. Якими повинні бути довжина і ширина кузова, щоб його об’єм був найбільшим, а відношення довжини до ширини дорівнювало

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 3*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти точки, в яких дотичні до кривої паралельні осі абсцис.

4. Бічні сторони і менша основа трапеції дорівнюють по 10 см. Визначити її більшу основу так, щоб площа трапеції була найбільшою.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік: .

 

ВАРІАНТ 4*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку

4. Які розміри повинна мати прямокутна ділянка землі площею , щоб огорожа мала найменший периметр?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 5*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Довести, що з усіх рівнобедрених трикутників з заданим периметром найбільшу площу має рівносторонній трикутник.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 6*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку

4. У прямокутник з гіпотенузою 8 см і кутом вписано прямокутник, основа якого розміщена на гіпотенузі. Які повинні бути розміри прямокутника, щоб його площа була максимальною?

5. Дослідити функцію і побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 7*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Скласти рівняння нормалі до графіка функції в точці її перетину з бісектрисою першого координатного кута.

4. З куска дроту 50 см завдовжки зігнути прямокутник, який має найбільшу площу.

5. Дослідити функцію і побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 8*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку

4. Знайти на параболі точку, найближчу до точки

5.Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 9*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

4. Поверхня прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою дорівнює Які розміри його ребер, коли його об’єм V найбільший?

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 10*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

4 Задане додатне число розкласти на два доданки так, щоб їхній добуток був найбільшим.

5. Дослідити функцію і побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 11*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше значення функції на відрізку

4. Знайти найбільшу площу прямокутника, вписаного в круг радіуса R.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 12*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Який кут утворює з віссю дотична до параболи що проведена в точці ? Написати рівняння цієї дотичної.

4. Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайти найбільший об’єм такого циліндра.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 13*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Знайти найбільше значення функції на відрізку

4. Знайти найбільшу площу прямокутника, вписаного в круг радіуса R.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 14*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3. Який кут утворює з віссю дотична до параболи ,що проведена в точці ?

4. Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює 12 см. Знайти найбільший об’єм такого циліндра.

5. Дослідити функцію та побудувати її графік:

 

ВАРІАНТ 15*

1. Знайти похідні функцій:

2. Знайти границі функцій:

3.Знайти найбільше та найменше значення функції