Дослідження графіка функції на опуклість, угнутість.

Точки перегину

Нехайкрива, що задана рівнянням y=f(x), гладка на деякому інтервалі (a;b), тобто функція f(x) неперервна і неперервно диференційовна на цьому інтервалі. Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну.

Означення. Крива називається опуклою(угнутою) на інтервалі (a;b), якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать під (над) довільною її дотичною на цьому інтервалі (рис.10 – крива опукла на інтервалі (a;b); рис.11 – крива угнута на інтервалі (a;b)).

Означення. Точкою перегину називається така точка неперервної кривої, яка відділяє її опуклу частину від угнутої (рис.12,13; – точка перегину кривої).

Приклади 1. Півколо – це крива, яка опукла на інтервалі (-1;1) (рис. 14). 2. Крива, задана рівнянням (показникові функція) угнута на інтервалі (рис. 15).

3. Парабола також угнута на всій числовій осі (рис. 16).

4. Кубічна парабола має точку перегину (0;0), яка розмежовує опуклу і угнуту частини її графіка (рис. 17).

Не всяка крива має точки перегину. Криві, зображені на рис. 14, 15, 16, точок перегину не мають. Іноді крива може мати їх декілька або, як синусоїда, навіть нескінченну множину.

Установлення інтервалів, де крива опукла, угнута, та знаходження точок перегину має важливе значення для характеристики поведінки функції f(x). Дослідження на опуклість, угнутість і перегин кривої аналогічне дослідженню на монотонність та екстремум функції, при умові, що за функцію приймаємо , а за її похідну – Аналогічно тому, як за знаком першої можна визначити, зростає чи спадає функція, так за знаком другої похідної можна зробити висновок, в яку сторону вигинається лінія графіка функції. Іншими словами, аналізуючи знак другої похідної, можна встановити, на яких інтервалах крива опукла, а на яких угнута. При цьому, інтервалу спадання першої похідної відповідає інтервал опуклості графіка функції, а інтервалу зростання – інтервал угнутості.

Ознака опуклості та вгнутості кривої: нехай функція f(x) двічі диференційовна на (a;b). Тоді, якщо для будь-якого

то крива угнута на (a;b);

якщо , то крива опукла на (a;b).

Для того щоб легше запам’ятати зв'язок між знаком другої похідної і поведінкою кривої, можна скористатися уже згадуваним раніше мнемонічним «правилом ковшика», його ще називають «правилом дощу»: дощ, падаючи на графік функції, розсіюється на випуклих ділянках, на яких і збирається на угнутих, на яких (дивись рис. 18). Схематично це можна зобразити ще й так: , де знаки нерівностей суть: V – угнутість; –опуклість.

На рис. 18 крива y=f(x) випукла на ділянках АВ і СД і угнута на ділянці ВС. Рис. 18.

Самі ж точки В та С суть точки перегину.

Означення. Інтервалами опуклості, угнутості кривої називаються інтервали її області визначення, в яких крива або лише опукла, або лише угнута.

Із наведеної вище ознаки ясно, що в інтервалах опуклості, угнутості кривої друга похідна зберігає знак, тобто ці інтервали є інтервалами знакосталості другої похідної.

Проводячи далі аналогію з дослідженням функції на екстремум, приходимо висновку, що абсциси точок перегину є точками екстремуму першої похідної і для знаходження цих точок можна скористатися необхідною і достатньою ознаками екстремуму.

Необхідна ознака існування точки перегину: якщо – абсциса точки перегину, то або або не існує.

Означення. Критичними точками 2-го роду функції f(x) називаються точки її області визначення, в яких друга похідна дорівнює нулю або дорівнює нескінченності або ж не існує.

Критичні точки 2-го роду розбивають ОВФ на інтервали опуклості та угнутості.

Сформульована вище необхідна ознака не є достатньою для існування точки перегину. Абсциси точок перегину слід шукати серед критичних точок 2-го роду. Проте не всяка критична точка 2-го роду є абсцисою точки перегину. Наприклад, крива має другу похідну яка при дорівнює нулю але не є абсцисою точки перегину кривої. Ця крива взагалі не має точок перегину.

Достатня ознака існування точки перегину: якщо при переході через критичну точку 2-го роду функції друга похідна змінює знак, то точка є точкою перегину цієї кривої.

Правило дослідження кривої y=f(x) на опуклість, угнутість, перегин:

1.	Знаходимо ОВФ.
2.	Знаходимо та .
3.	Знаходимо критичні точки 2-го роду функції f(x).
4.	Наносимо критичні точки 2-го роду на ОВФ. Вони розбивають область визначення на інтервали опуклості, угнутості кривої.
5.	За знаком другої похідної визначаємо, опукла чи угнута крива на кожному інтервалі.
6.	Знаходимо абсциси точок перегину згідно достатньої ознаки існування точки перегину.
7.	Знаходимо точки перегину.

Приклад. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину кривої

Розв’язання. 1) ОВФ – вся числова вісь.

2)

3) Знаходимо критичні точки 2-го роду: ;

– критичні точки 2-го роду.

4) Відмічаємо критичні точки на ОВФ. Інтервали опуклості, угнутості:

5) Визначаємо знак похідної на кожному з цих інтервалів:

а) – крива опукла на інтервалі ;

б) – крива угнута на інтервалі (-1;0);

в) – крива угнута на інтервалі

6) Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то точка є абсцисою точки перегину. При переході через критичну точку друга похідна не змінює знак, тому ця точка не є абсцисою точки перегину.

7) Знаходимо координати точки перегину:

Точка перегину має координати P(-1;3).

 

Асимптоти кривої

При дослідженні функції і побудові її графіка важливо вияснити характер її поведінки в околі точок розриву і точок, де функція не визначена, а також вияснити її поведінку при та . Інакше кажучи, важливо установити форму графіка функції при віддаленні його змінної (біжучої) точки М в нескінченність. Якщо при цьому графік функції необмежено наближається до деякої прямої, то цю пряму називають асимптотою кривої, а саме

наближення – асимптотичним. З поняттям асимптоти ми вперше зустрілись в курсі аналітичної геометрії при дослідженні форми гіперболи. Узагальнимо це поняття на довільні криві.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від біжучої точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка М рухається по кривій в нескінченність.

Крива може наближатися до своєї асимптоти тими ж способами, що і змінна до своєї границі, залишаючись з однієї сторони від асимптоти або з різних сторін, нескінченне число разів перетинаючи асимптоту і переходячи з однієї її сторони на другу (дивись рис. 20, 21, 22).

Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі. Найпростіше знайти асимптоти, паралельні осям координат, – вертикальні та горизонтальні.

Вертикальна асимптота паралельна осі Oy. Рівняння вертикальної асимптоти кривої y=f(x) має вигляд x=a, де a – значення аргументу, при якому функція f(x) обертається на нескінченність (терпить нескінченний розрив – дивись рис. 20). Інакше кажучи, для того щоб пряма x=a була вертикальною асимптотою кривої y=f(x), необхідно і достатньо виконання хоча б однієї із умов

або або (1)

Таким чином, вертикальні асимптоти можуть бути або в точках нескінченних розривів функції, або на межах ОВФ. Причому границі знаходять ліворуч та праворуч від точки розриву. Для знаходження вертикальних асимптот потрібно знайти ті скінченні значення аргументу, при яких функція необмежено зростає за абсолютною величиною.

Додаткову інформацію відносно поведінки кривої при можна дістати, якщо установити до чого прямує при цьому функція до чи до . Рис. 23 ілюструє всі можливі випадки (а їх чотири) поведінки функції f(x) при , де x=a – точка розриву 2-го роду.

Горизонтальна асимптота паралельна осі Ox. Пряма y=b є горизонтальною асимптотою кривої y=f(x), якщо існує границя

або . (2)

При асимптота називається правою горизонтальною, а при – лівою (рис. 20).

Похилі асимптоти. Питання про існування похилих асимптот вирішується за допомогою наступної теореми.

ТЕОРЕМА. Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції f(x) при необхідно і достатньо існування границь

(3)

(відповідно ) (4)

При асимптота називається правою похилою, а при – лівою.

Коментарі до теореми. 1. Якщо хоча б однієї із границь у кожному випадку (3) та (4) не існує, то крива y=f(x) похилих асимптот не має. 2. Горизонтальну асимптоту можна розглядати як частинний випадок похилої асимптоти при .

Цілком можливо, що одна із віток графіка функції має похилу асимптоту, а друга – ні, або ж кожна із віток має свою похилу асимптоту. Коли крива монотонно наближається до асимптоти, то слід постаратися вияснити (якщо це не важко), з якого боку від цієї асимптоти знаходиться крива. Для дослідження розміщення кривої відносно асимптоти потрібно окремо розглядати випадки, коли та і в кожному із цих випадків визначати знак різниці Якщо він буде додатним, то крива розміщена над асимптотою, а якщо від’ємним, то під асимптотою. Коли ж ця різниця не буде знакосталою, то крива буде коливатися біля своєї асимптоти.

Знання асимптот значно полегшує побудову графіка функції і дає повне уявлення про його поводження в нескінченності. Більше того, знаючи асимптоти (особливо коли є вертикальні і похилі), можна зробити ескіз графіка функції.

Приклад 1. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв’язання. 1) ОВФ: – вся числова вісь, крім точки розриву x =1. 2) Вертикальною асимптотою може бути лише пряма x =1, так як точка x =1 є точкою розриву 2-го роду. Знайдемо границі та

При (x наближається до 1 зліва) чисельник прямує до 1, а знаменник, пряму до нуля, залишається весь час від’ємним і тому значення функції прямують до . Символічно запишемо це так:

При (x наближається до 1 справа) чисельник прямує до 1, а знаменник, прямуючи до нуля, залишається весь час додатним. В свою чергу, значення функції прямують до

Отже, пряма x =1 є вертикальною асимптотою графіка функції.

Знаючи поведінку функції в околі точки розриву x =1, можна уже побудувати «кусок» графіка функції (дивись рис. 24)

 

 

3) Горизонтальні асимптоти. Оскільки існує границя то пряма y =1 є горизонтальною асимптотою графіка функції.

4) Залишилось з’ясувати питання про існування похилих асимптот Для цього обчислимо

Знову дістали рівняння горизонтальної асимптоти y =1 (як частинний випадок похилої при k =0).

Визначимо знак різниці при та

при – крива розміщена над асимптотою;

при – крива розміщена під асимптотою.

Здобута інформація дає змогу, доповнивши рис. 24, побудувати ескіз графіка даної функції (рис. 25).

 

Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції

Розв’язання. 1) ОВФ: 2) Вертикальні асимптоти. При підході до граничної точки x =0 функція необмежено спадає:

Отже, пряма x =0 (вісь ординат) є вертикальною асимптотою графіка цієї функції. 3) Горизонтальні асимптоти. Оскільки то горизонтальних асимптот графік функції не має. 4) Похилі асимптоти шукаємо тільки при .

А це означає, що графік функції не має похилих асимптот (рис. 26).

Приклад 3. Знайти асимптоти кривої

Розв’язання. 1) ОВФ: Функція визначена на всій числовій осі Ox, крім точки x =0, де вона розривна.

2) Вертикальні асимптоти. Крива має вертикальну асимптоту x=0, так як x=0 – це точка розриву 2-го роду. Дійсно, знайдемо границі:

Пряма – вертикальна асимптота даної кривої.

3) Горизонтальних асимптот крива не має, оскільки

4) Похилі асимптоти де

.

Пряма – похила асимптота даної кривої. Графік функції схематично показаний на рис. 27.