Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Комплексне число як точка площини ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
У вибраній прямокутній системі координат число зображається точкою (рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка , то їй співставляється к.ч. . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність. Рис.1.1. Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі , а чисто уявні - на осі ; з цієї причини називають дійсною, а – уявною віссю; площину називають комплексною площиною, а к.ч. - точками цієї площини. Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову: ; . Розв’язання. 1) Нехай . Умову перепишемо в рівносильній формі: Відповідь: множина чисел пряма 2) Якщо , то, , отже, Відповідь: множина чисел - півплощина, що розміщена нижче прямої . Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч. 1. . 2. . 3. Відповіді. 1. 2. . 3. .
Коло, круг, кільце Нехай дано числа Рівнянню задовольняють всі числа (і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то . Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці . Звернемо увагу на вироджені випадки кільця : (1) – круг з виключеним центром ; (2) – зовнішність круга – круг з границею; (3) – вся площина з виключеною точкою ; (4) при маємо пусту множину.
Рис. 1.2
Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга . Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p: . Відповідь: точка p розміщена поза кругом.
Комплексне число як вектор
Кожному к.ч. відповідає єдиний радіус-вектор , і навпаки, кожному радіусу-вектору відповідає єдине к.ч. (рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні. Якщо вектор зображає к.ч. , то домовимось писати . Нехай Розглянемо паралелограм , див. рис.1.3.
Рис.1.3 Очевидно, , тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту. Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.
Приклад. Доведемо нерівність , яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел. Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що , тобто . Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно. Приклад. Знайти суму і різницю і , де , . Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма. Розв’язання. . Виконати самостійно В умовах попереднього прикладу знайти і , де 1) , ; 2) , .
Кут нахилу вектора до осі
Розглянемо довільний ненульовий вектор (див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі в площині навколо точки до суміщення її з напрямком вектора , називається кутом нахилу цього вектора до осі ; при цьому j , якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок збігається з напрямком , то j . Рис. 1.4 Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає, що додатний j+ і від’ємний j- кути визначають один і той же напрямок. Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок, то такий же напрямок будуть задавати і кути , де . Отже, за кут нахилу вектора можна приймати будь-який з кутів , де ціле число. Приклад. Легко перевірити, що кути 1350,4950,-2250,-9450 визначають один і той же напрямок (відносно осі ).
Аргумент комплексного числа Нехай вектор зображає к.ч. , рис.1.5. Аргументом числа називається будь-яке із значень кута нахилу вектора до осі : , де . Таким чином, аргумент к.ч. набуває нескінченну множину значень. Аргумент числа не визначається. Рис. 1.5 Найменше за абсолютною величиною значення (тобто значення з інтервалу ) називається головним значенням аргументу к.ч. і позначається , тому , . Приклади. 1) Використовуючи рис. 1.6, легко переконатись, що
Рис. 1.6 2) Для довільного маємо . Пропонуємо довести цю тотожність самостійно.
Обчислення аргументу Спочатку відмітимо властивість: 1) Аргумент дійсного і чисто уявного числа: якщо , то
2) Аргумент будь-якого числа можна знаходити за формулою: (1.1) Доведемо останню формулу у випадку, коли зображується точкою в другій чверті (рис.1.7). З . Оскільки , то
Рис 1.7
Інші випадки розміщення числа на площині розглядаються аналогічно. Зауважимо, що вказаним способом для аргументу можна одержати формули, в яких використовуються арккотангенс, арккосинус чи арксинус. Якщо не вимагається високої точності, то аргумент к.ч. можна знаходити графічно. З цією метою слід побудувати к.ч. на міліметровому папері і виміряти відповідний кут за допомогою транспортиру. Цей спосіб іноді використовують для грубої перевірки обчислень. Приклад 1. Покажемо, як обчислюють аргументи чисел за допомогою формул цього пункту. , (застосована формула (1.1), чверті); , (формула (1.1), чверті); , (формула (1.1), чверті); , (формула (1.1), чверті); Приклад 2. Достатньо встановити знаки дійсної і уявної частин к.ч., щоб перевірити рівності: , .
Tpигонометрична форма к.ч.
Нехай відомі модуль і аргумент к.ч. (див рис.1.5). Зауважимо, що - полярні координати точки , яка зображає число (якщо - полярна вісь). У випадку розміщення осей і , вказаному на рис. 1.5, відомі формули переходу від полярних до прямокутних координат точки . Додамо ці рівності, помноживши другу на : Остання форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Як бачимо, щоб знайти тригонометричну форму, досить обчислити модуль і аргумент к.ч. Приклади. Записати в тригонометричній формі слідуючі числа: 1) 2) 3) Розв’язання 1) Відповідь: 2) Відповідь: 3) Відповідь: . Розглянемо алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми к.ч. Нехай дано к.ч. , на прикладі . Для переходу до тригонометричної форми необхідно: 1. Побудувати на площині ХОУ к.ч. і встановити, до якої чверті належить . На даному прикладі: ІІІ четв. Див. рис. 2. Знаходимо модуль к.ч. за формулою (1) (1) На прикладі маємо: 3. За допомогою таблиць або мікрокалькулятора знаходимо , ураховуючи при цьому властивість . На прикладі: . 4. За формулою (1.1) § 1.14 знаходимо . Для даного прикладу: ІІІ чверті. Маємо: 5. Підставимо знайдені і у формулу (2) Для маємо:
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 202; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.2.184 (0.052 с.) |