IV. Комплексні числа (к. ч.)

IV. Комплексні числа (к. ч.)

Дійсні числа

Нагадаємо, що числа 1, 2, 3, 4,..., n,..., за допомогою яких ведеться лічба, називаються натуральними. Множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N,

= {1, 2, 3, …, n,...}.

Якщо до множини натуральних чисел включити число нуль, а також –1, –2, –3,..., то утвориться множина цілих чисел Z ={..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

Раціональні – це числа вигляду , де q – натуральне, а p – ціле. Множина раціональних чисел позначається Q = { , }. Раціональні числа – виражаються звичайними дробами, які можна перетворювати у десяткові: скінченні або нескінченні періодичні.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними (нераціональними). Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Прикладами ірраціональних чисел є:

=3,1415926536897931..., е = 2,71828182845904535...,

= 1,4142135623..., і т.п.

Об’єднання множин раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел (позначається буквою R), тобто:

.

Відомо, що між точками числової осі ОХ і множиною дійсних чисел R існує взаємно однозначна відповідність.

 

Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами

Відомо, що корені квадратного рівняння

(1)

знаходяться за формулами

 

(2)

де вираз називають дискримінантом.

При D >0 корені квадратного рівняння дійсні і різні;

при D =0 корені дійсні і рівні;

при D <0 говорять. що дійсні корені не існують, а існують, так звані, комплексні корені.

Приклад. Знайти корені квадратного рівняння

.

За формулами (2) маємо:

.

Серед дійсних чисел вираз не має смислу, тобто не є дійсним числом. Запишемо формально: .

Символ прийнято позначати буквою і, тобто:

, а

його називають уявною одиницею.

Тепер корені рівняння запишуться:

.

Перевірка. Для маємо:

.

Аналогічно робиться перевірка для .

Отже, для квадратного рівняння існують два корені і , які не є дійсними, вони відносяться до комплексних чисел.

 

Приклади для самостійного розв’язання

Розв’язати квадратні рівняння:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

 

Алгебраїчна форма к.ч.

В алгебраїчній формі к.ч.мають вигляд , де дійсні числа; число називається дійсною, а – уявною частиною к.ч.; позначення: ; символ формально визначається рівністю і називається уявною одиницею.

Два к.ч. називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини.

Основні операції над к.ч. в алгебраїчній формі введені в §§4.4,4.5,4.6.

Надалі домовимось вирази і т.п. вважати к.ч., записаними в алгебраїчній формі, отже, і т.п. набуватимуть тільки дійсних значеннь.

Нехай дано число . Якщо , то дійсне число: ; якщо , то називається чисто уявним числом: .

Приклад. Розв’язати рівняння ; де дійсні числа.

Розв¢язання. З рівності к.ч. випливає: . Розв’язуючи цю систему, одержимо .

 

Спряжені к.ч.

 

Числа і називаються спряженими. Таким чином, якщо і – спряжені числа, то і .

Очевидно, якщо дійсне число, то ; якщо – чисто уявне число, то . Навпаки, якщо і , то відповідно і - дійсне і чисто уявне числа.

Приклади.

1) Якщо , то .

2) Безпосередньо перевіряється тотожність .

 

Модуль к.ч.

 

Модулем числа називається невід’ємне число .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .

Приклади.

1) .

2)

3) .

4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел

 

Додавання і віднімання к.ч.

 

Приклади

1. .

2. .

Обчислити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

 

Множення к.ч.

 

Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):

Приклади.

.

Правильна тотожність Дійсно,

 

Спростити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

 

Ділення к.ч.

 

Ділення к.ч. виконується згідно правила (при умові ):

Приклади.

1)

2)

3) Розв’язати рівняння

Розв’язання. Відповідь: .

Перевірка:

 

Спростити самостійно вирази

1. 2. 3. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. .

 

Коло, круг, кільце

Нехай дано числа

Рівнянню задовольняють всі числа (і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то .

Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці .

Звернемо увагу на вироджені випадки кільця :

(1) – круг з виключеним центром ;

(2) – зовнішність круга – круг з границею;

(3) – вся площина з виключеною точкою ;

(4) при маємо пусту множину.

 

Рис. 1.2

 

Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга .

Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p:

.

Відповідь: точка p розміщена поза кругом.

 

Комплексне число як вектор

 

Кожному к.ч. відповідає єдиний радіус-вектор , і навпаки, кожному радіусу-вектору відповідає єдине к.ч. (рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні.

Якщо вектор зображає к.ч. , то домовимось писати .

Нехай Розглянемо паралелограм , див. рис.1.3.

 

Рис.1.3

Очевидно,

, тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту.

Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.

Приклад. Доведемо нерівність , яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел.

Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що , тобто .

Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно.

Приклад. Знайти суму і різницю і , де , . Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма.

Розв’язання.

.

Виконати самостійно

В умовах попереднього прикладу знайти і , де 1) , ;

2) , .

 

Кут нахилу вектора до осі

 

Розглянемо довільний ненульовий вектор (див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі в площині навколо точки до суміщення її з напрямком вектора , називається кутом нахилу цього вектора до осі ; при цьому j , якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок збігається з напрямком , то j .

Рис. 1.4

Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає, що додатний j₊ і від’ємний j_- кути визначають один і той же напрямок.

Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок, то такий же напрямок будуть задавати і кути , де . Отже, за кут нахилу вектора можна приймати будь-який з кутів , де ціле число.

Приклад. Легко перевірити, що кути 135⁰,495⁰,-225⁰,-945⁰ визначають один і той же напрямок (відносно осі ).

 

Аргумент комплексного числа

Нехай вектор зображає к.ч. , рис.1.5. Аргументом числа називається будь-яке із значень кута нахилу вектора до осі :

, де .

Таким чином, аргумент к.ч. набуває нескінченну множину значень. Аргумент числа не визначається.

Рис. 1.5

Найменше за абсолютною величиною значення (тобто значення з інтервалу ) називається головним значенням аргументу к.ч. і позначається , тому , .

Приклади.

1) Використовуючи рис. 1.6, легко переконатись, що

 

Рис. 1.6

2) Для довільного маємо . Пропонуємо довести цю тотожність самостійно.

 

Обчислення аргументу

Спочатку відмітимо властивість:

1) Аргумент дійсного і чисто уявного числа: якщо , то

2) Аргумент будь-якого числа можна знаходити за формулою:

(1.1)

Доведемо останню формулу у випадку, коли зображується точкою в другій чверті (рис.1.7). З . Оскільки , то

 

Рис 1.7

 

Інші випадки розміщення числа на площині розглядаються аналогічно.

Зауважимо, що вказаним способом для аргументу можна одержати формули, в яких використовуються арккотангенс, арккосинус чи арксинус.

Якщо не вимагається високої точності, то аргумент к.ч. можна знаходити графічно. З цією метою слід побудувати к.ч. на міліметровому папері і виміряти відповідний кут за допомогою транспортиру. Цей спосіб іноді використовують для грубої перевірки обчислень.

Приклад 1. Покажемо, як обчислюють аргументи чисел за допомогою формул цього пункту.

, (застосована формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

, (формула (1.1), чверті);

Приклад 2. Достатньо встановити знаки дійсної і уявної частин к.ч., щоб перевірити рівності:

,

.

 

Tpигонометрична форма к.ч.

 

Нехай відомі модуль і аргумент к.ч. (див рис.1.5). Зауважимо, що - полярні координати точки , яка зображає число (якщо - полярна вісь).

У випадку розміщення осей і , вказаному на рис. 1.5, відомі формули переходу від полярних до прямокутних координат точки . Додамо ці рівності, помноживши другу на :

Остання форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Як бачимо, щоб знайти тригонометричну форму, досить обчислити модуль і аргумент к.ч.

Приклади. Записати в тригонометричній формі слідуючі числа:

1) 2) 3)

Розв’язання

1)

Відповідь:

2)

Відповідь:

3)

Відповідь: .

Розглянемо алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми к.ч.

Нехай дано к.ч. , на прикладі . Для переходу до тригонометричної форми необхідно:

1. Побудувати на площині ХОУ к.ч. і встановити, до якої чверті належить . На даному прикладі: ІІІ четв. Див. рис.

2. Знаходимо модуль к.ч. за формулою (1)

(1)

На прикладі маємо:

3. За допомогою таблиць або мікрокалькулятора знаходимо , ураховуючи при цьому властивість

.

На прикладі: .

4. За формулою (1.1) § 1.14 знаходимо . Для даного прикладу: ІІІ чверті. Маємо:

5. Підставимо знайдені і у формулу

(2)

Для маємо:

 

Відповіді.

1. 1) , ;

2) ;

3) .

2. 1) , ;

2) ;

3) .

 

 

4.17. Формула піднесення к.ч.до цілого степеня n

 

(Формула Муавра): якщо то

(1.3)

Приклад. Нехай . Обчислити .

Розв’язання.

Подамо в тригонометричній формі: застосовуємо формулу (1.3) при :

Формула добування коренів

 

Формула добування коренів го степеня з числа

(1.4)

де символ означає корінь арифметичний з дійсного числа .

Таким чином, при має точно значень.

Приклад. Знайти всі значення .

Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:

Застосовуємо формулу (1.4) при де

Одержуємо три значення кореня:

Відповідь:

Формула Ейлера

Формула Ейлера має вигляд:

, (1.5)

де будь-яке дійсне число.

Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через , але це виправдано тим, що введений таким чином символ буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.

За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості:

( ціле); .

Приклад. Обчислити .

Розв’язання.

 

4.20. Експонента e^z

Нехай . Покладемо . Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником.

Основні властивості:

( ціле);

Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17).

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. Якщо то

Відповідь:

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язання.

Приклад 3. Показати, що якщо комплексне число, то

Розв’язання. Нехай Очевидно, що

Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.

Показникова форма к.ч.

 

Нехай Якщо число записати в тригонометричній формі а потім застосувати формулу Ейлера (1.5), одержимо так звану показникову форму к.ч.

.

Така форма запису чисел дозволяє використовувати властивості експоненти і тому зручна для різних перетворень.

Множення, ділення і піднесення до степеня к.ч.: якщо

то

;

( ціле).

Приклад 1. Записати у показниковій формі к.ч. .

Розв’язання. Користуємось алгоритмом, який вже викладений у §1.15.

1. Будуємо к.ч. на площині ХОУ і визначаємо чверть, якій воно належить.

З рис. видно, що ІІІ чв.

2. Обчислюємо модуль к.ч.

3. Знаходимо

4. Оскільки ІІІ чв., то за формулою (1.1) §1.14 маємо:

5. За формулою запишемо

.

Перевірка.

Відповідь.

Приклад 2. Використовуючи показникову форму чисел обчислити наближено (всі обчислення виконувати з чотирма знаками після коми). Для контролю знайти точне значення , виконуючи обчислення в алгебраїчній формі.

Розв’язання. Знаходимо квадрати модулів і аргументи (в градусах) даних чисел:

Виконуючи дії над числами в показниковій формі, отримаємо

До алгебраїчної форми запису числа переходимо за допомогою формули Ейлера (1.5):

Контроль. Виконаємо дії в алгебраїчній формі:

Відповіді.

1. . 2. .

3. . 4. .