Экстремум функций одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума (с доказательством). Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

18. Выпуклость и вогнутость функции одной переменной – определение, достаточные и необходимые условия (с доказательством). Нахождение точек перегиба.

19. Второе достаточное условие экстремума (с доказательством). В каких случаях оно неприменимо?

20. Асимптоты графика функции одной переменной. Формулы для нахождения коэффициентов наклонной асимптоты. Общая схема исследования функции и построения графика. Найти асимптоты для канонического уравнения гиперболы.

21. Определение первообразной функции. Какие функции имеют первообразную? Неопределенный интеграл, его геометрический смысл и свойства (перечислить). Показать, чему равны: дифференциал от неопределенного интеграл и неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции? Интегральные (неэлементарные) функции.

Доказать, что вид неопределенного интеграла не зависит от выбора аргумента. Методы подстановки и интегрирования «по частям» в неопределенном интеграле. Интегралы группы «четырех».

23. Интегрирование рациональных дробей. Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Другие методы интегрирования тригонометрических выражений

24. Задача вычисления площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл: определение, условия существования, свойства (перечислить), геометрический смысл. В чем принципиальное отличие определенного интеграла от неопределенного? Доказать свойство аддитивности для определенного интеграла.

25. Чем органичен определенный интеграл от ограниченной функции? (доказать). Теорема о среднем значении определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом (с выводом).

Формула Ньютона – Лейбница (с выводом). Что такое «вставка»? Замена переменной и интегрирование «по частям» в определенном интеграле. В чем отличие от соответствующих методов для неопределенных интегралов? Интегралы от четных и нечетных функций (с выводом формул).

27. Формула вычисления площадей плоских фигур в декартовых прямоугольных координатах (с выводом). Что такое «криволинейный сектор»? Формулы вычисления площадей плоских фигур в полярных координатах, длин дуг кривых и объемов тел вращения (без вывода).

28. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Определение их сходимости. Правила вычисления.

Определение функции нескольких переменных. Примеры использования функций нескольких переменных в экономике (производственные функции, функции полезности и др.). Эластичность функции, экономический смысл эластичности. Геометрический смысл функции двух переменных. Линии уровня. Определение предела функции двух переменных.

30. Полное и частные приращения. Непрерывность функции двух переменных и ее геометрический смысл. Частные производные 1-го порядка и полный дифференциал функции нескольких переменных. Их геометрический смысл. Определение и достаточное условие дифференцируемости.

Производная функции нескольких переменных по заданному направлению. Градиент функции и его свойства. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

32. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Признак полного дифференциала. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка «в полных дифференциалах». Приближенные вычисления функций с помощью полного дифференциала.

33. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в заданной области.

34. Обыкновенные дифференциальные уравнения: определения, виды, общие, частные и особые решения. Задача Коши для дифференциальных уравнений 1-го порядка, геометрический смысл.