Характер поведения материалов при чистом изгибе. Гипотезы Бернулли.

Плоский поперечный изгиб

Понятие о плоском поперечном изгибе. Внутренние силы. Напряжения.Под плоским поперечным изгибом понимаем нагружение под действием сосредоточенных и распределённых нагрузок, перпендикулярных к продольной оси, распределённых и сосредоточенных пар сил, если все внешние силовые факторы лежат в одной плоскости, проходящей через продольную ось балки и совпадающей с одной из главных инерционных плоскостей. Элементы, испытывающие нагружение плоского поперечного изгиба будем называть балками.В случае изгиба балки должны опираться на конструкции. Опоры

Для определения внутренних факторов будем использовать метод сечений.

В случае плоского поперечного изгиба возникает два силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. При плоском поперечном изгибе возникают нормальные напряжения, которые являются функциями только изгибающего момента.

Таким образом при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении возникает только нормальные и касательные напряжения.

- функция только нормальных напряжений.

При расчёте балок на изгиб необходимо определять законы распределения внутренних усилий по длине балки. Для этого используется метод сечений, строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дифференциальная зависимость между интенсивностью распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Так как ширина объёма мала, то приращение нагрузки за счёт криволинейного характера распределения, является величиной бесконечно малой высшего порядка. Приращением можно пренебречь и принять, что бесконечно малый объём нагружен равномерно-распределённой нагрузкой.

С-центр тяжести поперечного сечения.

Проецируем все усилия, действующие на элементарный объём, выделенный из балки на вертикальную ось Q+qdx-(Q+dQ)=0; q= - интенсивность распределенной нагрузки равна первой производной от функции поперечной силы по расстоянию.

С точки зрения геометрии первая производная – тангенс угла наклона касательной, проведённой к графическому изображению поперечной силы (эпюре поперечных сил).

Составляем сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения.

.

, , при x=0 Q=0, то C=0.

 

Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки сосредоточ силой; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой)

1)сосредоточ сила, прилож на конце консоли дает на эп Q скачек на велич силы, а на эп М наклон линию

2) на участках где прилож равномерно распредел нагрузка, эп Q всегда наклонная линия, а эп М квадратич парабола. Эп М на встречу стрелкам, как зонтик.

6) Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки парой сил; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой, парой сил и сосредоточенной силой)

 

1) Сосред сила прилож к балке(посреди) на Q дает скачек на велич силы, а на М излом выпуклостью на встречу силе

 

2) см вопр 5

3) сечение в кот эп Q пересек ось, эп М приним экстимальное значение

7) Методика расчетов на прочность по нормальным напряжениям при изгибе прямых брусьев.

0) Определ. реакции опор и считаем число учстков

1) строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и на эпюре изгиб моментов находи опасные моменты. Под опасным понимается сечение в которых изгиб момент принимает макс. Значение, это справедливо для изотропных и анизотропных материалов с симметричным сечением.

2) Производим расчет по формуле

Для анизотропных симметричных материалов в качесвте допуск. Напряжения берется наименьшее. Для нессиметр. Анизотропных материалов надо производить отдельно расчет, как по допускаемым напряжениям сжатия и на разжатие.

Балки разнородной упругости

Разнородные элементы, из которых составлена балка, должны быть соединены так, чтобы обеспечивалась их совместная работа. В таком случае поперечные сечения балки при чистом изгибе остаются плоскими. В приводимых формулах предполагается, что плоскость симметрии сечения совпадает с плоскостью действия изгибающего момента М и поперечной силы Q. Сечение балки из разнородных материалов приводится к сечению однородной балки умножением каждой работающей части сечения на отношение модуля продольной упругости ее материала к модулю упругости, выбираемому за основной.

 

Ядро сечения.

Под ядром сечения понимаем область центров давления очерченную около центра тяжести поперечного сечения при приложении внешней силой, в которой во всем поперечном сечении возникают напряжения одного знака.

Метод:

1)определяем положение главных осей инерции.

2)к контуру поперечного сечения проводим касательные (они являются нейтральными линиями) таким образом, что бы они не пересекали поперечные сечения.

3)Расчётным или геометрическими путями определяем отрезки которые нейтральные линии (косательные) отсекают о координатных.

Используя уравнение нейтральной линии в отрезках определяем координаты точек приложения силы.

– уравнение нейтральной линии.

Ядро сечения всегда выпуклый многоугольник.

24) 25) 26) Действие изгиба и кручения в случаи стержней с не круглым сечением:

В случаи совместного действия кручения и изгиба в стержнях с прямоугольным поперечным сечением, волокна на рёбрах находятся в одноосном напряжённом состоянии и испытывают растяжение или сжатие. И поэтому проверка прочности этих волокон выполняется по методики осевого напряженного состояния. А именно:

В точках посередине граней материал находится в плоском напряжённом состояние и поэтому проверку прочности необходимо выполнять по одной из гипотез.

; ;

 

Для проверки возьмём 7 точку и проверим по 3 гипотезе:

По аналогу можно написать и для 6 точки:

При совместном действии изгиба и кручения в стержнях с прямоугольным поперечным сечением первоначальные размеры поперечного сечения наиболее целесообразно определять из условия прочности записанного для ребра стержня по методике косого изгиба с последующей проверкой прочности в точке по середине одной из граней.

Интеграл Максвелла-Мора.

выражение для расчета перемещений упругой системы по методу Максвелла-Мора в виде:

Внутренние усилия, которые возникнут в балке от этой силы, обозначим N1, Mx1, Mи1, Q1.

Внутренние усилия от внешних нагрузок (без учета фиктивной силы Φо) обозначим следующим образом Nр, Mхр, Mир, Qр.

Таким образом, для того чтобы определить перемещения методом Максвелла-Мора, необходимо:

1) рассмотреть «грузовую» систему, нагруженную только внешними силами (без учета фиктивных сил), и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

2) рассмотреть «единичную» систему, нагруженную только одной силой – единичной силой Φ1=1, приложенной в том направлении и в той точке, где требуется найти перемещение, и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

3) подставить найденные внутренние усилия в интеграл Максвелла-Мора и найти перемещение. Отметим, что для многих стержневых систем действием осевого усилия N и поперечных сил Q можно пренебречь.

Кривые стержни

Плоский поперечный изгиб

Понятие о плоском поперечном изгибе. Внутренние силы. Напряжения.Под плоским поперечным изгибом понимаем нагружение под действием сосредоточенных и распределённых нагрузок, перпендикулярных к продольной оси, распределённых и сосредоточенных пар сил, если все внешние силовые факторы лежат в одной плоскости, проходящей через продольную ось балки и совпадающей с одной из главных инерционных плоскостей. Элементы, испытывающие нагружение плоского поперечного изгиба будем называть балками.В случае изгиба балки должны опираться на конструкции. Опоры

Для определения внутренних факторов будем использовать метод сечений.

В случае плоского поперечного изгиба возникает два силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. При плоском поперечном изгибе возникают нормальные напряжения, которые являются функциями только изгибающего момента.

Таким образом при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении возникает только нормальные и касательные напряжения.

- функция только нормальных напряжений.

При расчёте балок на изгиб необходимо определять законы распределения внутренних усилий по длине балки. Для этого используется метод сечений, строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дифференциальная зависимость между интенсивностью распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Так как ширина объёма мала, то приращение нагрузки за счёт криволинейного характера распределения, является величиной бесконечно малой высшего порядка. Приращением можно пренебречь и принять, что бесконечно малый объём нагружен равномерно-распределённой нагрузкой.

С-центр тяжести поперечного сечения.

Проецируем все усилия, действующие на элементарный объём, выделенный из балки на вертикальную ось Q+qdx-(Q+dQ)=0; q= - интенсивность распределенной нагрузки равна первой производной от функции поперечной силы по расстоянию.

С точки зрения геометрии первая производная – тангенс угла наклона касательной, проведённой к графическому изображению поперечной силы (эпюре поперечных сил).

Составляем сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения.

.

, , при x=0 Q=0, то C=0.

 

Характер поведения материалов при чистом изгибе. Гипотезы Бернулли.

Эпюры Q и М позволяют определить законы распределения внутрен­них усилий вдоль продольной оси балки и, соответственно, в любом сечениибалки. При плоском поперечном изгибе возникают нормальные и ка-штсльные напряжения, см. п. 6.2. Как отмечалось ранее (см. п. 6.2.), попе­речная сила в сечениях складывается из элементарных касательных усилий i F_X(Q), а изгибающие моменты - из нормальных усилий, образующих пиры, a = F₂(M). Для оценки прочности балок необходимо определить нормальные и касательные напряжения. Если на балке отсутствует попе­речная сила, то касательные усилия и напряжения равны нулю и в мате­риале возникают только нормальные напряжения. Изгиб балок, при кото­ром поперечная сила отсутствует (равна 0), называется чистым изгибом. Естественно, что при чистом изгибе в материале возникают только нор­мальные напряжения. На рис. 183 показаны расчетная схема балки и эпю­ры Q и M.

На участке балки между силами F, согласно эпюрам Qvl М, попереч­ная сила равна 0, а изгибающий момент имеет постоянное значение. До нагружения на боковой поверхности балки между силами F нанесем сетку, см. рис. 162. Вертикальные линии сетки b - с, d - е - следы поперечны» сечений на боковой поверхности балки, а горизонтальные g - f, т - п следы слоев на боковой поверхности. Нагрузим балку статически и про анализируем поведение сетки. В деформированном состоянии участии балки с сеткой показан на рис. 184.

При нагружении вертикальные линии b - с, d - е, прямолинейные до нагружения, остались прямолинейными в процессе нагружения и поверну­лись относительно своего первоначального положения на некоторый угол, Горизонтальные линии g —f, т-п при нагружении стали криволинейными и слой g -/испытал деформацию сжатия, а слой т-п- деформацию растяжения, следовательно, существует некоторый слой ОО_и который не изменяет при нагружении линейные размеры - нейтральный слой. На осно­вании приведенных экспериментальных данных сформулируем гипотезы Бернулли:

1. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются плоскими в процессе нагружения и поворачиваются на некоторый угол относительно первоначального положения.

2. Продольные слои друг на друга не давят и под действием нор­мальных напряжений испытывают линейные деформации растяжения и сжатия.

3. Напряжения в пределах одного слоя поперечного сечения посто­янны по величине и изменяются по высоте поперечного сечения.

Гипотезы Бернулли справедливы, если выполняются следующие ог­раничения:

1. Материал балок находится в упругом состоянии и подчиняется чакону Гука.

2. Соотношения между размерами поперечных сечений и длиной балки таковы, что не происходит скручивание и коробление.

Поперечное сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, и все внешние силы лежат в плоскости симметрии балки.

 

3) Изгиб прямого бруса: основные положения, …

 

Правило знаков:

1) Изгибающий момент + если внешний момент срмиться повернуть сечение т.о. чтобы сжимать верхние волокна

2) эпюры изгибающих моментов всегда строятся на сжатых волокнах

3) поперечная сила + если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение по часовой стрелке

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).

Рис. 5.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0;

M_x + Q_y dz + q dz × dz /2 - M_x - d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим: (5.4) откуда . (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линей­ной, а функция M_x - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.