Рівняння гіперболічної регресії

1.3.1. Формуємо таблицю з первинних даних та обчислень допоміжних величин для обчислення коефіцієнтів a і b даного рівняння:

Акт. ЛДГ	Лактат Yi	1/ xi	(1/ xi)^2	yi / xi	Y x	yi–yx	(yi–yx)^2	yi^2
Xi
6,28	5,11	0,159	0,025	0,814	5,693	-0,583	0,340	26,112
6,89	5,82	0,145	0,021	0,845	6,266	-0,446	0,198	33,872
7,34	6,96	0,136	0,019	0,948	6,627	0,333	0,111	48,442
7,92	7,39	0,126	0,016	0,933	7,032	0,358	0,128	54,612
8,26	7,07	0,121	0,015	0,856	7,243	-0,173	0,030	49,985
8,74	7,73	0,114	0,013	0,884	7,513	0,217	0,047	59,753
8,39	7,81	0,119	0,014	0,931	7,319	0,491	0,241	60,996
8,34	7,56	0,120	0,014	0,906	7,290	0,270	0,073	57,154
8,74	8,00	0,114	0,013	0,915	7,513	0,487	0,237	64,000
9,72	8,45	0,103	0,011	0,869	7,982	0,468	0,219	71,403
	8,77	0,071	0,005	0,626	9,259	-0,489	0,239	76,913
15,6	9,01	0,064	0,004	0,578	9,557	-0,547	0,299	81,180
17,7	9,13	0,056	0,003	0,516	9,865	-0,735	0,541	83,357
18,5	9,45	0,054	0,003	0,511	9,965	-0,515	0,265	89,303
20,1	9,77	0,050	0,002	0,486	10,139	-0,369	0,136	95,453
22,9	10,1	0,044	0,002	0,441	10,387	-0,287	0,082	102,01
24,8	10,6	0,040	0,00	0,427	10,522	0,078	0,006	112,36
31,3	10,8	0,032	0,00	0,345	10,862	-0,062	0,004	116,64
36,2	11,3	0,028	0,00	0,312	11,038	0,262	0,069	127,69
39,9	12,4	0,025	0,00	0,311	11,142	1,258	1,582	153,76
Σ xi	Σ yi	Σ 1/ xi	Σ (1/ xi)^2	Σ yi / xi	Σ yx	Σ(yi–yx)	Σ (yi–yx)^2	Σ yi^2
321,62	173,23	1,723	0,185	13,455	173,22	0,0147	4,847	1565,0

 

Знаходимо коефіцієнти a і b за формулами (98) і (99), відповідно:

a = (173,23 ∙ 0,185 – 13,455 ∙ 1,723) / (20 ∙ 0,185 – 1,723²) = 12,12;

b = (20 ∙ 13,455 – 1,723 ∙ 173,23)/(20 ∙ 0,185-1,723²)= - 40,17.

В результаті отримаємо рівняння регресії, що має вигляд:

y = 12,12 - 40,17/ x.

1.3.2. За формулою (104) обчислюємо величину середньої помилки апроксимації :

Рівняння статистично значуще, оскільки 5,05<15%.

1.3.3. За допомогою формул (106) і (73) обчислюємо величини індексу кореляції та коефіцієнту детермінації:

R²=0,96² ×100% =92%

1.3.4. За формулою (107) обчислюємо фактичне значення F-критерію Фішера. При цьому порівнюємо загальну дисперсію S_y² (108) із залишковою S²_зал (109).

S _y² = (1565,0– 1500,43) / 19 = 3,3984,

S ²_зал = 4,847 / 20 = 0,2424.

Тоді

F _ф = 3,3984 / 0,2424 = 14,0.

При рівні статистичної значущості p=0,05 F_ф>F_кр =2,22. Тому лінійне рівняння регресії адекватно описує фактичнвзаємозв’язок між вмістом лактату і активністю ЛДГ. При цьому значення F_ф=14,0 вказує на те, що рівняння гіперболи в 14 разів краще описує даний взаємозв’язок, ніж середнє значення залежної змінної.

Рис. 10. Рівняння гіперболи

Отже, за результатами регресійного аналізу можна зробити висновок про те, що рівняння гіперболи, якеза результатами експерименту має вигляд: y = 12,12 - 40,17/ x (Рис. 10: крива) в 14,0 рази краще описує зміни залежної змінної (вміст лактату), ніж середнє значення аргументу.

Показникове рівняння кривої

1.4.1. Формуємо таблицю з первинних даних та обчислень допоміжних величин для обчислення коефіцієнтів a і b даного рівняння:

Акт. ЛДГ	Вміст лактату	ln yi	xi^2	xi ln yi	Y x	yi–yx	(yi–yx)^2	yi^2
Xi	Yi
6,28	5,11	1,631	39,438	10,244	7,039	-1,929	3,720	26,112
6,89	5,82	1,761	47,472	12,135	7,120	-1,300	1,690	33,872
7,34	6,96	1,940	53,876	14,241	7,181	-0,221	0,049	48,442
7,92	7,39	2,000	62,726	15,841	7,259	0,131	0,017	54,612
8,26	7,07	1,956	68,228	16,155	7,306	-0,236	0,056	49,985
8,74	7,73	2,045	76,388	17,874	7,372	0,358	0,128	59,753
8,39	7,81	2,055	70,392	17,245	7,324	0,486	0,236	60,996
8,34	7,56	2,023	69,556	16,871	7,317	0,243	0,059	57,154
8,74	8,00	2,079	76,388	18,174	7,372	0,628	0,394	64,000
9,72	8,45	2,134	94,478	20,744	7,509	0,941	0,885	71,403
	8,77	2,171	196,00	30,399	8,139	0,631	0,398	76,913
15,6	9,01	2,198	243,36	34,294	8,388	0,622	0,386	81,180
17,7	9,13	2,212	313,29	39,145	8,727	0,403	0,163	83,357
18,5	9,45	2,246	342,25	41,551	8,859	0,591	0,349	89,303
20,1	9,77	2,279	404,01	45,814	9,130	0,640	0,410	95,453
22,9	10,1	2,313	524,41	52,957	9,624	0,476	0,227	102,01
24,8	10,6	2,361	615,04	58,549	9,974	0,626	0,392	112,36
31,3	10,8	2,380	979,69	74,480	11,27	-0,472	0,223	116,64
36,2	11,3	2,425	1310,4	87,778	12,36	-1,061	1,126	127,69
39,9	12,4	2,518	1592,0	100,46	13,253	-0,853	0,727	153,76
Σ xi	Σ yi	Σ lnyi	Σxi^2	Σ xi ln yi	Σ yx	Σ(yi–yx)	Σ(yi–yx)^2	Σ yi^2
321,62	173,23	42,728	7179,4	724,95	172,53	0,7034	11,634	1565,0

 

Знаходимо коефіцієнти a і b за формулами (101) і (102), відповідно:

ln a = (42,728 ∙ 7179,4 – 724,95 ∙ 321,62) / (20 ∙ 7179,4 – (321,62)²) = 1,8332.

Звідси, беручи до уваги те, що основа натурального логарифму e = 2,7182 отримаємо a = 6,254.

ln b = (20 ∙ 724,95 – 321,62 ∙ 42,728) / (20 ∙ 7179,4 – (321,62)²) = 0,01885.

Тому b = 1,019.

В результаті отримуємо наступне рівняння регресії:

y = 6,254 ∙ 1,019 ^x.

1.4.2. За формулою (105) обчислюємо величину середньої помилки апроксимації :

Рівняння статистично значуще, оскільке 8,20<15%.

1.4.3. За допомогою формул (106) і (73) обчислюємо величини індексу кореляції та коефіцієнту детермінації:

R²=0,91² ×100% =83%

1.4.4. За формулою (107) обчислюємо фактичне значення F-критерію Фішера. При цьому порівнюємо загальну дисперсію S_y² (108) із залишковою S²_зал (109).

S _y² = (1565,0– 1500,43) / 19 = 3,3984,

S ²_зал = 11,634 / 18 = 0,6463.

Тоді

F_ф = 3,3984 / 0,6463 = 5,26.

При рівні статистичної значущості Р=0,05 F_ф>F_кр =2,22. Тому лінійне рівняння показової кривої адекватно описує фактичний вміст лактату відносно активності ЛДГ. При цьому значення F_ф=5,26 вказує на те, що рівняння показової кривої лише в 5 раз краще описує даний взаємозв’язок, ніж середнє значення залежної змінної.

Рис. 11. Показникові рівняння

 

Отже, за результатами регресійного аналізу можна зробити висновок про те, що показникове рівняння, якеза результатами експерименту має вигляд: y = 6,254 ∙ 1,019 ^x (Рис. 11: крива) лише в 5,26 раз краще описує зміни залежної змінної (вміст лактату), ніж середнє значення аргументу.

2. Обчислення похибок і помилок для вищевказаних рівнянь регресії

Позначивши через δ₁, δ₂, δ₃, δ₄ абсолютні похибки рівнянь лінійної напівлогарифмічної, гіперболічної та показникової регресії, відповідно, за формулою (110) обчислюємо їхні величини:

Первинні дані та обчислення допоміжних коефіцієнтів рівнянь наведені в таблиці 24, позначивши через Z _i1 = (y_i – y_x)₁ / y_x1, Z _i2 = (y_i – y_x)₂ / y_x2, Z _i3 = (y_i – y_x)₃ / y_x3, Z _i4 = (y_i – y_x)₄ / y_x4

 

Таблиця 24. Допоміжні величини для обчислення похибок і помилок рівнянь регресії

(yi – yx)1	(yi – yx)2	(yi – yx)3	(yi – yx)4	yx1	yx2	yx3	yx4	Zi1	Zi2	Zi3	Zi4
-1,9166	-1,2717	-0,5830	-1,9287	7,0266	6,3817	5,6930	7,0387	-0,2728	-0,1993	-0,1024	-0,2740
-1,3084	-0,8381	-0,4455	-1,3000	7,1284	6,6581	6,2655	7,1200	-0,1835	-0,1259	-0,0711	-0,1826
-0,2434	0,1133	0,3331	-0,2205	7,2034	6,8467	6,6269	7,1805	-0,0338	0,0165	0,0503	-0,0307
0,0898	0,3165	0,3579	0,1307	7,3002	7,0735	7,0321	7,2593	0,0123	0,0447	0,0509	0,0180
-0,2869	-0,1288	-0,1732	-0,2359	7,3569	7,1988	7,2432	7,3059	-0,0390	-0,0179	-0,0239	-0,0323
0,2931	0,3627	0,2168	0,3577	7,4369	7,3673	7,5132	7,3723	0,0394	0,0492	0,0289	0,0485
0,4314	0,5646	0,4906	0,4862	7,3786	7,2454	7,3194	7,3238	0,0585	0,0779	0,0670	0,0664
0,1898	0,3324	0,2697	0,2430	7,3702	7,2276	7,2903	7,3170	0,0258	0,0460	0,0370	0,0332
0,5631	0,6327	0,4868	0,6277	7,4369	7,3673	7,5132	7,3723	0,0757	0,0859	0,0648	0,0851
0,8496	0,7658	0,4683	0,9405	7,6004	7,6842	7,9817	7,5095	0,1118	0,0997	0,0587	0,1252
0,4557	-0,0021	-0,4891	0,6305	8,3143	8,7721	9,2591	8,1395	0,0548	-0,0002	-0,0528	0,0775
0,4288	-0,0848	-0,5466	0,6217	8,5812	9,0948	9,5566	8,3883	0,0500	-0,0093	-0,0572	0,0741
0,1985	-0,3414	-0,7355	0,4035	8,9315	9,4714	9,8655	8,7265	0,0222	-0,0360	-0,0746	0,0462
0,3851	-0,1532	-0,5147	0,5911	9,0649	9,6032	9,9647	8,8589	0,0425	-0,0160	-0,0517	0,0667
0,4382	-0,0805	-0,3695	0,6402	9,3318	9,8505	10,1395	9,1298	0,0470	-0,0082	-0,0364	0,0701
0,3012	-0,1394	-0,2865	0,4762	9,7988	10,239	10,3865	9,6238	0,0307	-0,0136	-0,0276	0,0495
0,4843	0,1229	0,0776	0,6258	10,1157	10,477	10,5224	9,9742	0,0479	0,0117	0,0074	0,0627
-0,3999	-0,3712	-0,0625	-0,4722	11,1999	11,171	10,8625	11,272	-0,0357	-0,0332	-0,0058	-0,0419
-0,7173	-0,3049	0,2619	-1,0613	12,0173	11,605	11,0381	12,361	-0,0597	-0,0263	0,0237	-0,0859
-0,2344	0,5050	1,2579	-0,8528	12,6344	11,895	11,1421	13,253	-0,0186	0,0425	0,1129	-0,0643
Z1^2	Z2^2	Z3^2	Z4^2		Σ Zi1	Σ Zi2	Σ Zi3	Σ Zi4
-0,0245	-0,0117	-0,0019	0,1117
0,0744	0,0397	0,0105	0,0751	Відносна похибка (111)
0,0337	0,0158	0,0051	0,0333	Δ 1 = + √(1/20) ∙ 0,153188457 ∙ 100 = + 8,752 %;
0,0011	0,0003	0,0025	0,0009	Δ 2 = + √ (1/20) ∙ 0,0916958 ∙ 100= + 6,771 %;
0,0002	0,0020	0,0026	0,0003	Δ 3 = + √ (1/20) ∙ 0,0653363 ∙ 100= + 5,716 %.
0,0015	0,0003	0,0006	0,0010	Δ 4 = + √ (1/20) ∙ 0,184182 ∙ 100= + 9,596 %.
0,0016	0,0024	0,0008	0,0024
0,0034	0,0061	0,0045	0,0044	Системна помилка (112)
0,0007	0,0021	0,0014	0,0011	op1 =(1/20) ∙ (- 0,0245) ∙ 100= - 0,1227;
0,0057	0,0074	0,0042	0,0073	op2 =(1/20) ∙ (- 0,0117) ∙ 100 = - 0,0587;
0,0125	0,0099	0,0034	0,0157	op3 =(1/20) ∙ (-0,0019) ∙ 100 = - 0,0095;
0,0030	0,0000	0,0028	0,0060	op4 =(1/20) ∙ 0,1117 ∙ 100 = 0,5585.
0,0025	0,0001	0,0033	0,0055
0,0005	0,0013	0,0056	0,0021
0,0018	0,0003	0,0027	0,0045
0,0022	0,0001	0,0013	0,0049
0,0009	0,0002	0,0008	0,0024
0,0023	0,0001	0,0001	0,0039
0,0013	0,0011	0,0000	0,0018
0,0036	0,0007	0,0006	0,0074
0,0003	0,0018	0,0127	0,0041
Σ	Σ	Σ	Σ
0,1532	0,0917	0,0653	0,1842

 

Для обчислення випадкової помилки () допоміжні дані треба занести до таблиці (таблиця 25).

Таблица 25. Допоміжні дані для обчислення випадкової помилки ()

{((yi – yx)/yx)1 × 100 – op1 }^2	{((yi – yx)/yx)^2 × 100 – op2 }^2	{((yi – yx)/yx)3 × 100 – op3 }^2	{((yi – yx)/yx)4 × 100 – op4 }^2
737,323	394,746	104,664	781,748
332,388	156,971	50,4255	354,063
10,6043	2,93420	25,3621	13,1747
1,83173	20,5480	26,0006	1,54088
14,2629	2,99675	5,67073	14,3493
16,5113	24,8220	8,38124	18,4394
35,6412	61,6396	45,0626	36,9596
7,27795	21,6964	13,7524	7,63485
59,1967	74,7710	42,1034	63,3058
127,715	100,502	34,5340	143,177
31,4005	0,00118	27,8001	51,6672
26,2135	0,76359	32,6056	46,9598
5,50197	12,5726	55,4368	16,5254
19,1052	2,36142	26,5819	37,3782
23,2198	0,57606	13,2075	41,6575
10,2166	1,69765	7,55672	19,2688
24,1070	1,51732	0,55827	32,6703
11,8902	10,6534	0,31980	22,5418
34,1743	6,59603	5,67510	83,6127
3,00228	18,5232	127,663	48,9077
Σ	Σ	Σ	Σ
1531,58	916,89	653,36	1835,58

 

Таким чином, використовуючи формулу (113) та дані із таблиці 25, обчислюємо випадкові помилки наведених вище рівнянь регресії:

Загальний висновок. Взаємне порівняння рівнянь регресії (таблиця 26) показує, що найкращі результати дає рівняння регресії, яке описується рівнянням гіперболи. Дане рівняння показало найвище значення F -критерію Фішера (F _ф = 14,0) та найменші помилки та похибки.

 

Таблица 26. Взаємне порівняння рівнянь регресії

Вид рівняння регресії	Дисперсія	F -критерій	%	η	R^2 %	Похибка рівняння	Помилка
зага-льна	залиш-кова	Fф	Fкр	абсо-лютн.δ	відноснаΔ, %	система-тична op	випад-кова oδ
y=0,167x+5,979	3,398	0,4838	7,0	2,2	6,89	0,93		±0,0094	±8,752	- 0,1227	±8,75
y=0,903+2,982lnx	0,2595		5,01	0,96		±0,0036	±6,771	- 0,0587	±6,77
y=12,12–40,17/x	0,2424		5,05	0,96		±0,0271	±5,716	- 0,0095	±5,72
y = 6,254 ∙ 1,019^x	0,6463	5,3	8,20	0,91		±0,1875	±9,596	0,5585	±9,58