Применение методов дифференциального исчисления в экономике

Предельная себестоимость

Рассмотрим зависимость C = f(Q) себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q. Предельная себестоимость характеризует отношение прироста себестоимости C к приросту объема продукции Q при малом изменении объема продукции.

Эластичность спроса

Пусть D=D(P) – функция спроса от цены товара Р. Под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1 %:

При непрерывной зависимости D от P удобно перейти к пределу при P 0:

(*)

Эластичность спроса можно представить в следующем виде:.
.
Из этого равенства следует, что эластичность спроса обладает свойствами логарифма:
.
Так как D(P) - убывающая функция, то . Из формулы (*) следует, что E(D)<0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины |E(D)|:

1) |E(D)|>1 (E(D)< -1) – спрос эластичен;

2) |E(D)|=1 (E(D)= -1)) – спрос нейтрален;

3) |E(D)|E(D)> -1)) – спрос неэластичен.

Найдем изменение выручки с увеличением цены товара при разных вариантах эластичности спроса. Выручка I равна произведению цены товара P на величину спроса D:

I(P)=D(P) P.

Найдем производную этой функции: ,

теперь проанализируем все приведенные виды эластичности спроса с учетом формулы:

Возможны случаи:

1) если E(D)< -1, то

2) если E(D)= -1, то =0 - при нейтральном спросе изменение цены не влияет на выручку;

3) если E(D)> -1, то >0 - при неэластичном спросе повышение цены товара приводит к росту выручки

Максимизация прибыли

Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, C(Q) – функция затрат на производство товара. Тогда прибыль от реализации товара выражается формулой

П(Q) = R(Q) – C(Q).

Чтобы прибыль была максимальной при некотором значении Q, должен выполняться необходимый принцип экстремума П'(Q)=0. Следовательно,

R'(Q)-C'(Q)=0, R'(Q)=C'(Q),

где - предельный доход:

- предельные издержки.

Получено известное микроэкономическое утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны.
Пусть

Тогда прибыль определяется формулой
Приравнивая производную функции прибыли нулю, получаем уравнение

Корни этого уравнения Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при

 

 

ГЛОССАРИЙ

ВЕКТОР — направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ — определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ — k1 = k2

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ — k1*k2 = −1

МИНОРОМ К-ГО ПОРЯДКА ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ А — называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА — Матрица называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если выполняется условие А*А^-1=А^-1*А=Е

СОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА — Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

ОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА — совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ — Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ — К показателям производственной программы в денежном выражении относятся объем продаж, доход, реализованная продукция, товарная и валовая продукция, чистая и условно-чистая продукция, нормативно-чистая продукция, валовой и внутрипроизводственный оборот, нормативная стоимость обработки.