Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Случайные величины. Дискретные случайные величины.Стр 1 из 5Следующая ⇒
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ КУРСА Случайные величины. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает любое наперед неизвестное значение из некоторого числового множества. Значение случайной величины зависит от многих случайных факторов, которые до опыта не могут быть учтены. Случайная величина называется дискретной, если она принимает значения из некоторого фиксированного конечного или счетного множества. В этом случае значения случайной величины можно пронумеровать. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения может быть задан аналитически, графически и таблично. Закон распределения в табличной форме имеет вид:
В первой строке таблицы содержатся возможные значения случайной величины Х, во второй — вероятности этих значений. При каждом испытании случайная величина Х может принять только одно значение, поэтому события Х = x 1, Х = x 2, …, Х = xn образуют полную группу попарно несовместных событий, и, следовательно, . Многоугольником (полигоном) распределения дискретной случайной величины называется графическое представление закона ее распределения. Для построения многоугольника распределения в прямоугольной декартовой системе координат надо последовательно соединить точки с координатами , где — возможные значения случайной величины Х, — соответствующие вероятности (i = 1, 2, …, n). Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: .
Дисперсией (рассеянием) D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
. Средним квадратическим отклонением s(Х)дискретной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:
.
Функцией распределения (интегральной функцией) случайной величины Х называется функция F (x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х:
.
Свойства функции распределения 1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0; 1]: . 2. — неубывающая функция, т.е. , если . 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то при , при . 4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее промежутку [ a, b), равна приращению функции распределения на этом промежутке: Распределение Пуассона Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, k, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями, вычисляемыми по формуле Пуассона , где . Формула Пуассона является хорошим приближением формулы Бернулли в случае, когда вероятность события мала (p ® 0, ), а число испытаний n велико. Формулу Пуассона называют законом редких событий. Закон распределения Пуассона случайной величины Х имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны а: M (X) = D (X) = a.
Наряду с «предельным» случаем биномиального распределения закон Пуассона связан с задачей о потоке событий. Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Поток характеризуется интенсивностью l или средней плотностью – числом событий, появившихся в единицу времени. Тогда при нахождении распределения случайной величины Х – числа событий, появившихся за время t, используем закон Пуассона:
.
Формула возвращает значение вероятности того, что событие А за время t произойдет k раз. В этом случае M (X) = D (X) = l t. Равномерное распределение Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной на отрезке [ a; b ], если плотность распределения имеет вид:
График плотности распределения вероятностей изображен на следующем рисунке.
Функция распределения для равномерно распределенной случайной величины имеет вид:
График F (x) изображен на следующем рисунке:
Числовые характеристики равномерно распределенной на отрезке [ a; b ] случайной величины находятся по формулам:
, , .
Измерительные шкалы
Любой вид измерения предполагает наличие единиц измерения. Единица измерения это та «измерительная палочка», как говорил С. Стивенc, которая является условным эталоном для осуществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измерения, например, градус, метр, ампер и т.д. Психологические переменные за единичными исключениями не имеют собственных измерительных единиц. Поэтому в большинстве случаев значение психологического признака определяется при помощи специальных измерительных шкал. Согласно С. Стивенсу (1951), существует четыре типа измерительных шкал (или способов измерения): 1) номинативная, номинальная или шкала наименований; 2) порядковая, ординарная или ранговая шкала; 3) интервальная или шкала равных интервалов; 4) шкала равных отношений, или шкала отношений. Процесс присвоения количественных (числовых) значений, имеющейся у исследователя информации, называется кодированием. Иными словами ‒ кодирование это такая операция, с помощью которой экспериментальным данным придается форма числового сообщения (кода). Применение процедуры измерения возможно только четырьмя вышеперечисленными способами. Причем каждая измерительная шкала имеет собственную, отличную от других форму числового представления, или кода. Поэтому закодированные признаки изучаемого явления, измеренные по одной из названных шкал, фиксируются в строго определенной числовой системе, определяемой особенностями используемой шкалы. Измерения, осуществляемые с помощью двух первых шкал, считаются качественными, а осуществляемые с помощью двух последних шкал – количественными.
Номинативная шкала (шкала наименований)
Номинативная шкала – это шкала, классифицирующая по названию. Измерение в номинативной шкале состоит в присваивании какому-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа (численного, буквенного и т.п.). По сути дела, процедура измерения сводится к классификации свойств, группировке объектов, к объединению их в классы, группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны (или аналогичны) друг другу в отношении какого либо признака или свойства, тогда как объекты, различающиеся по этому признаку, попадают в разные классы. Иными словами, при измерениях по этой шкале осуществляется классификация или распределение объектов (например, особенностей личности) на непересекающиеся классы, группы. Таких непересекающихся классов может быть несколько. Классический пример измерения по номинативной шкале в психологии ‒ разбиение людей по четырем темпераментам: сангвиник, холерик, флегматик и меланхолик. Номинальная шкала определяет, что разные свойства или признаки качественно отличаются друг от друга, но не подразумевает каких-либо количественных операций с ними. Так, для признаков, измеренных по этой шкале, нельзя сказать, что какой-то из них больше, а какой-то меньше, какой-то лучше, а какой-то хуже. Можно лишь утверждать, что признаки, попавшие в разные группы (классы) различны. Последнее и характеризует данную шкалу как качественную. Простейшая номинативная шкала соответствует признаку (свойству), для которого можно определить только его наличие – есть или нет. Такая шкала называется дихотомической, допускает кодирование двумя символами или цифрами. Признак, измеренный в дихотомической шкале, называется альтернативным.
Номинативная шкала позволяет нам подсчитывать количество объектов в каждом классе, а затем работать с частотами с помощью математических методов. Порядковая (ранговая, ординарная) шкала Измерение по этой шкале расчленяет всю совокупность измеренных признаков на такие множества, которые связаны между собой отношениями типа «больше ‒ меньше», «выше ‒ ниже», «сильнее ‒ слабее» и т.п. Если в предыдущей шкале было несущественно, в каком порядке располагаются измеренные признаки, то в порядковой (ранговой)шкале все признаки располагаются по рангу ‒ от самого большего (высокого, сильного, умного и т.п.) до самого маленького (низкого, слабого, глупого и т.п.) или наоборот. Типичный и очень хорошо известный всем пример порядковой шкалы ‒ это школьные оценки: от 5 до 1 балла. Еще пример ‒ судейство в некоторых видах спорта или зрелищных программах, которые также представляют собой вариант ранжирования. В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп). При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязательно должен сохраняться порядок, или, иначе говоря, каждая последующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей. В порядковой шкале также возможен подсчет количества объектов в группах. Установление порядка позволяет применять для измерений ранжиравание и все методы вычислений с применением рангов.
Шкала интервалов
В шкале интервалов,или интервальнойшкале, каждое из возможных значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии. Главное понятие этой шкалы ‒ интервал, который можно определить как долю или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале. Размер интервала ‒ величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы. Для измерения посредством шкалы интервалов устанавливаются специальные единицы измерения; в психологии – стены и стенайны. При работе с этой шкалой измеряемому свойству или предмету присваивается число, равное количеству единиц измерения, эквивалентное количеству имеющегося свойства.
Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у неё нет естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства). Применяя эту шкалу, мы можем судить, насколько больше или насколько меньше выражено свойство при сравнении объектов, но не можем судить о том, во сколько раз больше или меньше выражено свойство. Только измерение по строго стандартизированной тестовой методике, при условии того, что распределение значений в репрезентативной выборке достаточно близко к нормальному, может считаться измерением в интервальной шкале. Примером последнего могут служить стандартизованные тесты интеллекта, где условная единица измерения IQ эквивалентна как при низких, так и при высоких значениях интеллекта. Принципиально важным является и то, что к экспериментальным данным, полученным в этой шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.
Шкала отношений
Шкала отношений – это шкала, классифицирующая объекты пропорционально степени выраженности измеряемого свойства. Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шкала отношений является наиболее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. Шкала отношений по сути очень близка к интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений. Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких как психофизика, психофизиология, психогенетика.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ КУРСА Случайные величины. Дискретные случайные величины.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 348; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.202.54 (0.059 с.) |