Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Другими словами, функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], если выполнены три условия: Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств. Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.
Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b] найдется такая точка x1, что f(x1) ≤ f(x) для любых x из [a, b] и что найдется точка x2 (x2 [a, b]) такая, что Значение f(x1) является наибольшим для данной функции на [a, b], а f(x2) – наименьшим. Обозначим: f(x1) = M, f(x2) = m. Так как для f(x) выполняется неравенство: , то получаем следующее следствие из теоремы 1. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x0 отрезка [a, b], в которой функция обращается в 0, т.е. . Эта теорема утверждает, что график функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a, b], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f(a) и f(b) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) обращается в 0 в точках x1, x2, x3. Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], f(a) = A, f(b) = B и Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], m – наименьшее значение f(x), M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m, заключенное между m и M, а потому отрезок [m, M] является множеством всех значений функции f(x) на отрезке [a, b]. Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b) или имеет на отрезке В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции. Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Теорема 4. Пусть f(x) непрерывна на промежутке X, возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y. Тогда для функции y = f(x) существует обратная функция x = φ(y), определенная на промежутке Y, непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X. Замечание. Пусть функция x = φ(y) является обратной для функции f(x). Так как обычно аргумент обозначают через x, а функцию через y, то запишем обратную функцию в виде y = φ(x). Пример 1. Функция y = x2(рис. 1.8, а) на множестве X = [0, +∞) непрерывна, возрастает и имеет множеством значений Y = [0, +∞). Функция y = x2 имеет обратную функцию x =√y (рис. 1.8, б), а после переобозначения переменных y =√x, определенную, непрерывную и возрастающую на X.
Заметим, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Предлагаем построить графики взаимно обратных функций: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 600; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.4.181 (0.004 с.) |