Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x → +∞
(при x → -∞), если для любого положительного числа K существует число x₀, такое, что для всех x > x₀ выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Функция F(x) называется бесконечно большой при x → x₀ (при x → x₀–0 или
x → x₀+0), если для любого K > 0 существует δ > 0 такое, что для любого
соответственно выполняется неравенство |F(x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при
x → a, а потому не существует.

Если F (x) – б.б. функция при x → a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: Если при этом F (x) > 0, то пишут: ; если же F(x) < 0, то пишут: .

Пример 1. F1(x) = x² является б.б. при x → +∞ и x → -∞, причем F1(x) > 0, поэтому можно записать:
Пример 2. является б.б. при x → 0, причем

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x → a, то функция – б.м. при x → a.

Теорема 2. Если a(x) – б.м. при x → a и a(x) ≠ 0, то – б.б. при x → a.

Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x → a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x → a.

Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x→a, причем F1(x) > 0 и
F2(x) > 0 (т.е. ), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x → a.

Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x → a и число C≠ 0, то CF(x) – б.б. при x → a.

Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x → a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x → a, как иметь предел при x → a, так и не иметь его.

 

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если , где a(x) – б.м. при x → a.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где b – число, a(x) – б.м. функция при x → a, то .

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
, где С – постоянное число.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то .

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример. Найти .
Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов . Аналогично, Используя теорему 5, получим:

Теорема 6. Если существует и f(x) ≥ 0 для всех x из области определения функции, то
Теорема 7. Если существуют, то

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если и
существует и равен b.

 

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция не определена.
Теорема. (первый замечательный предел).
.
С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

Рассмотрим возрастающую последовательность: a₁,a₂,...,an,... Для нее a_n+1>a_n для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.