Методы оценки переходных процессов

 

Для оценки автоматических систем важное значение также имеет качество переходного процесса устойчивых систем. Все современные методы анализа качества переходных процессов можно разделить на две основных группы:

1 группа - методы непосредственного решения (интегрирования) тем или иным способом дифференциальных уравнений системы и выполнения согласно этому решению графического построения переходных процессов (прямые методы анализа):

2 группа - методы, позволяющие обойти громоздкие вычислительные операции (косвенные метод анализа).

Рассмотрим некоторые косвенные методы исследованиякачества регулирования.

1) Корневой метод. Этот метод позволяет наглядно и достаточно просто оценить быстродействие системы и ее колебательность, то есть оценить переходный процесс. Он основан на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Распределение корней на комплексной плоскости определяет:

а) Степень устойчивости, которая характеризуется абсолютной величиной вещественной части корня, расположенного ближе всех остальных к мнимой оси;

б) Колебательность - отношение мнимой части к действительной в той паре комплексных сопряженных корней, которые образуют на комплексной плоскости с вершиной в начале координат наибольший угол.

2) Интегральный метод. Кривая переходного процесса позволяет составить полное суждение о качестве процесса регулирования. Косвенную оценку качества дают интегральные критерии, которые основываются на подсчете площади, заключенной между кривой переходного процесса, страдающей зависимость отклонения системы от равновесного состояния с течением времени, и осью абсцисс. Чем меньше эта площадь, тем лучше динамические качества автоматической системы, тем выше качество переходного процесса.

Обычно принято считать идеальным переходный процесс ступенчатый (скачкообразный), протекающий мгновенно и без перерегулирований, а такие процесс, представляемый экспонентой с заданными параметрами.

При интегральномметоде наибольшее применение находят линейные и квадратичные оценкиследующего вида (рис.4.11):

 

I = ò y dt. I = ò y² dt. I = ò [y² + T² (y¹)²] dt.

 

Здесь, у = y(t) - функция времени, характеризуемая отклонение регулируемого параметра от заданного значения, Т - постоянная времени.

Рис.4.3. Графики интегралов.

По величине этих интегралов можно судить приблизительно о качестве переходных процессов. Показатели связываются с площадями. ограниченными кривой и осями координат. Интеграл 1 представляет собой площадь под кривой 1 переходного процесса. Очевидно, что

реальный переходный процесстем менее будет отличаться от идеального, чем меньше будет заштрихованная площадь. При перерегулировании (кривая 2) параметр "у" меняет алгебраический знак, поэтому при подсчете площади со знаком "минус" вычитаются. По этим причинам этот критерий не применим для колебательных переходных процессов. Этот недостаток исправляется интегралом с квадратом ординаты отклонения, что обеспечивает суммирование положительных и отрицательных площадей. Для получения оптимального переходного процесса следует добиваться минимального значения интеграла 12. Однако, часто при минимальном интеграле 12 переходный процесс получается колебательным, что в ряде случаев нежелательно. В этой случае качество оценивается интегралом, учитывающим скорость изменения регулируемого параметра. Выражение в скобках интеграла 13 можно рассматривать как неполный квадрат суммы, тогда

 

I₃ = ò [y² + T² (y¹)²]dt = ò (y + Ty¹)²dt – 2T ò yy¹dt =

= ò (y + Ty¹)²dt + Ty²₀.

 

При заданной постоянной Т интеграл имеет минимум, если первое слагаемое обращается в нуль, то есть если подынтегральная функция обращается в нуль.

Следовательно. I₃ = I min, если у удовлетворяет уравнению:

 

Тy¹+ у = 0.

 

Отсюда следует, что наилучшее качество переходного процесса имеет место в случае, если он имеет вид экспоненты, определяемый следующим уравнением:

 

у = у¹e^-t/T

 

Таким образом, идеализированный переходный процесс - экспонента, к которой должен стремиться реальный переходный процесс.