Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока
Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям. Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида F(z) = Az и F(z) = Alnz. I. Пусть характеристическая функция имеет вид F(z) = Az, где z = x +iy, a A - любое комплексное или действительное число. Пусть, например, А = А1 + iA2. Отделим в F (z) действительную часть от мнимой: . Следовательно, потенциальная функция jи функция тока y выразятся следующим образом: (7.43) Приравнивая полученное выражение потенциальной функции j постоянной С, найдем уравнение семейства эквипотенциальных линий: А1х – А2y = С. (7.44) Из (7.44) следует, что эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A1/А2. Уравнение семейства линий тока найдем, приравняв выражение для y(7.43) постоянной С*: А1у + А2х = С**. (7.45)
Отсюда следует, что линии тока – прямые с угловым коэффициентом (- A2А1 ). Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 7.21.
Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z. Согласно формулам (7.41) и (7.42). При А1=0 –поток параллелен оси 0у, а при А2=0 –параллелен оси 0х. II. а) Пусть характеристическая функция задана в виде: F(z) = A ln z, (7.46) где А – некоторое действительное число.
Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так (рис. 7.22): z = х +i y = =r (cos θ + i sin θ ) = rei θ, (7.47) где г – радиус - вектор точки; θ – полярный угол. Подставляя значение z в (7.46) и отделяя действительную часть от мнимой, получим: F(z) = A In (reiθ) = A In r + iA θ. Значит j=Alnr; y=A θ. (7.48) Приравнивая эти значения jи y постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде: · для эквипотенциальных линий – ν =const (7.49) · для линии тока – θ = const. (7.50) Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат (рис. 7.22). Линии тока – прямые, проходящие через начало координат.
В данном случае имеется плоскорадиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат. Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F (7.46) по z: . Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е-i θ.Следовательно , (7.51) то есть массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь и функция F (z) уже не будет аналитической). Для плоскорадиального потока имеем: , (7.52) где G = const – массовый дебит; h – мощность пласта. Приравнивая правые части (7.51) и (7.52), определим коэффициент А: . (7.53) Подставив это значение А в формулу (7.46), получим , (7.54) где положительный дебит G соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине). Таким образом, функция (7.54) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.
II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид: , (7.55) где а = а1 + ia2. Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а 1 ., а в направлении оси 0y на расстояние a2, и следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2. Если представить комплексное переменное z-а в полярных координатах, то получим , (7.56) где r – расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ– полярный угол с вершиной в этой особой точке. В соответствии с формулами (7.48) и (7.56) (7.57) Примечание. Потенциальная функция j и функция тока yопределяются с точностью до произвольной постоянной. В формулах (7.57), выражающих j и y, опущены произвольные постоянные, но их надо учитывать при определении дебита. III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин).
Потенциальную функцию течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками j, можно определить по методу суперпозиции, описанному в параграфе 7.1, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений, поддерживаемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте. На основании первого равенства (7.57) запишем , (7.58) где Gj – массовый дебит стока или источника за номером j; r j – расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n – число стоков и источников. Метод суперпозиции основан на известных свойствах уравнения Лапласа, которому подчиняется потенциал j, а именно, сумма частных решений уравнения Лапласа есть решение этого уравнения. В то же время существование потенциальной функции jjозначает существование наряду с ней функции тока yj,соответствующей каждому стоку и источнику. Функция yjудовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, по отношению к функции тока можно применять метод суперпозиции. Функция тока y для течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками, определится аналогично потенциалу сложного потока: . (7.59) Характеристическая функция сложного потока, согласно формулам (7.34), (7.58, 7.59), определится уравнением: (7.60) где Fj (z) – характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj -: . (7.61)
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 230; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.121.160 (0.009 с.) |