Статистические гипотезы и критерии

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

 

Полученные в экспериментах выборочные данные всегда ограничены и носят в значительной мере случайный характер. Именно поэтому для анализа таких данных и используется мате­матическая статистика, позволяющая обобщать закономерности, полученные на выборке, и распространять их на всю генераль­ную совокупность.

Полученные в результате экспери­мента на какой-либо выборке данные служат основанием для суждения о генеральной совокупности. Однако в силу действия случайных вероятностных причин оценка параметров генераль­ной совокупности, сделанная на основании экспериментальных (выборочных) данных, всегда будет сопровождаться погрешнос­тью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончательные утверждения. Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез. Как указывает Г.В. Суходольский: «Под статистической гипотезой обычно понимают формальное предположение о том, что сход­ство (или различие) некоторых параметрических или функцио­нальных характеристик случайно или, наоборот, неслучайно» [11].

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные дан­ные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин. Таким образом, статистическая гипотеза – это научная гипотеза, допускающая статистическую проверку, а математическая статистика – это научная дисциплина, задачей которой является научно обосно­ванная проверка статистических гипотез.

Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные, направленные и ненаправленные.

 

Нулевая гипотеза (H₀) – это гипотеза об отсутствии различий. Если мы хотим доказать значимость различий, то нулевую гипотезу требуется опровергнуть, иначе требуется подтвердить.

Альтернатив­ная гипотеза (Н₁) – гипотеза о значимости различий. Это то, что мы хотим до­казать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

Бывают задачи, когда мы хотим доказать как раз незначимость различий, то есть подтвердить нулевую гипотезу. Например, если нам нужно убедиться, что разные испытуемые получают хотя и различные, но уравновешенные по трудности заданияили что экспериментальная и контрольная выборки не различаются между собой по каким-то значи­мым характеристикам. Однако чаще нам все-таки требуется доказать значимость различий, ибо они более информативны для нас в поиске нового.

Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы – если предполагается в одной группе значения признака выше, а в другой ниже:

Н₀: Х₁ не превышает Х₂,

Н₁: Х₁ превышает Х₂.

Ненаправленные гипотезы – если предполагается что различаются формы распределения признака в группах:

Н₀: Х₁ не отличается от Х₂,

Н₁: Х₁ отличается Х₂.

Если мы заметили, что в одной из групп индивидуальные значения испытуемых по какому-либо признаку, например по социальной активности, выше, а в другой ниже, то для проверки значимости этих различий нам необходимо сформулировать направленные гипотезы.

Если мы хотим доказать, что в группе А под влиянием каких-то экспериментальных воздействий произошли более выраженные изменения, чем в группе Б, то нам тоже необходимо сформулировать направленные гипотезы.

Если же мы хотим доказать, что различаются формы распределения признака в группах А и Б, то формулируются ненаправленные гипотезы.

Проверка гипотез осуществляется с помощью критериев статистической оценки различий.

Принимаемый вывод носит название статистического решения. Подчеркнем, что такое решение всегда вероятностно. При проверке гипотезы экспериментальные данные могут противоречить гипотезе Н₀, тогда эта гипотеза отклоняется. В противном случае, т.е. если экспериментальные данные согласуются с гипотезой Н₀, она не отклоняется. Часто в таких случаях говорят, что гипотеза Н₀ принимается. Отсюда видно, что статистическая проверка гипотез, основанная на экспериментальных выборочных данных, неизбежно связана с риском (вероятностью) принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода произойдет, когда будет принято решение отклонить гипотезу Н₀, хотя в действительности она оказывается верной. Ошибка второго рода произойдет, когда будет принято решение не отклонять гипотезу Н₀, хотя в действительности она будет неверна. Очевидно, что и правильные выводы могут быть приняты также в двух случаях. В таблице 7.1 обобщено вышесказанное.

 

Таблица 7.1

 

Результат проверки гипотезы Н0	Возможные состояния проверяемой гипотезы
Верна гипотеза Н0	Верна гипотеза Н1
Гипотеза Н0 отклоняется	Ошибка первого рода	Правильное решение
Гипотеза Н0 не отклоняется	Правильное решение	Ошибка второго рода

 

Не исключено, что психолог может ошибиться в своем статистическом решении; как видим из таблицы 7.1, эти ошибки могут быть только двух родов. Поскольку исключить ошибки при принятии статистических гипотез невозможно, то необходимо минимизировать возможные последствия, т.е. принятие неверной статистической гипотезы. В большинстве случаев единственный путь минимизации ошибок заключается в увеличении объема выборки.

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

 

Статистический критерий – это решающее правило, обеспечиваю­щее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью [11].

Статистические критерии обозначают также метод расчета опре­деленного числа и само это число.

Когда мы говорим, что достоверность различий определялась по критерию j^* (критерий – угловое преобразование Фишера), то имеем в виду, что использовали метод j^* для расчета определенного числа.

Когда мы говорим, далее, что j^* =1,36, то имеем в виду определенное число, рассчитанное по методу j^*. Это число обозначается как эмпирическое значение критерия.

По соотношению эмпирического и критического значений крите­рия мы можем судить о том, подтверждается ли или опровергается нулевая гипотеза.

В большинстве случаев для того, чтобы мы признали различия значимыми, необходимо, чтобы эмпирическое значение критерия пре­вышало критическое, хотя есть критерии (например, критерий Манна-Уитни или критерий знаков), в которых мы должны придерживаться противоположного правила.

В некоторых случаях расчетная формула критерия включает в се­бя количество наблюдений в исследуемой выборке, обозначаемое как n. В этом случае эмпирическое значение критерия одновременно является тестом для проверки статистических гипотез. По специальной таблице мы определяем, какому уровню статистической значимости различий соответствует данная эмпирическая величина. Примером такого крите­рия является критерий j^*, вычисляемый на основе углового преобразо­вания Фишера.

В большинстве случаев, однако, одно и то же эмпирическое зна­чение критерия может оказаться значимым или незначимым в зависи­мости от количества наблюдений в исследуемой выборке (n) или от так называемого количества степеней свободы, которое обозначается как v или как df.

Число степеней свободы v равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован. К числу таких условий относятся объем выборки (n), средние и дисперсии.

Допустим, группу из 50 человек разделили на три класса по принципу:

- умеет работать на компьютере;

- умеет выполнять лишь определенные опера­ции;

- не умеет работать на компьютере.

В первую и вторую группы попало по 20 человек, в третью – 10.

Мы ограничены одним условием – объемом выборки. Поэтому, даже если мы потеряли данные о том, сколько человек не умеют рабо­тать на компьютере, мы можем определить это, зная, что в первом и втором классах – по 20 испытуемых. Мы не свободны в определении количества испытуемых в третьем разряде, «свобода» простирается только на первые две ячейки классификации:

.