Показники кореляційно-регресійних залежностей

В економічних дослідженнях серед множини функцій часто розглядають прямолінійну форму зв'язку, яку виражають рівнянням прямої лінії:

у_x = а + bх,

де у_x - вирівняне значення результативної ознаки (залежна змінна); x -значення факторної ознаки (незалежна змінна); а - початок відліку, або значення у_х при х=0 (економічного змісту не має); b - коефіцієнт регресії, який показує середню змінну залежної змінної при зміні незалежної змінної на одиницю (одне своє значення).

Якщо b >0, то зв'язок прямий, якщо b <0, то зв'язок зворотний, якщо b =0. то зв'язок відсутній. Рівняння такого типу називають рівнянням регресії, або кореляційним рівнянням. Основним його завданням є встановлення кількісного взаємозв'язку між ознаками.

Параметри рівняння а і bвизначають способом найменших квадратів. Він дає можливість знайти ту криву, яка порівняно з іншими кривими проходить найближче до точок кореляційного поля, що відображає фактичні дані, тобто дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки від вирівняних (теоретичних) значень.

Рівень результативних показників сільськогосподарського виробництва формується під впливом комплексу взаємопов'язаних факторів, які діють з різною силою і з різною спрямованістю. Тому на практиці найчастіше доводиться вивчати взаємозв'язки між кількома ознаками одночасно.

Особливе значення у вивченні взаємозв'язків між ознаками в суспільному виробництві має багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз, під час якого визначають залежність результативної ознаки від кількох факторів одночасно. Використання ЕОМ і типових програм кореляційно-регресійного аналізу дає змогу розв'язувати кореляційні моделі різних залежностей і вибрати з цієї множини таке рівняння, яке найточніше описує ступінь наближення фактичних даних до теоретичних і відповідно дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних даних від визначених за рівнянням зв'язку.

Парна кореляція, оскільки разом з досліджуваним фактором на результативну ознаку впливають й інші фактори, не завжди дає правильне уявлення про зв'язок між результативною і факторною ознакою (збільшує або зменшує ступінь залежності). Перевага багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу порівняно з простою кореляцією полягає в тому, що він дає змогу оцінити ступінь впливу на результативну ознаку кожного з включених до моделі (рівняння) факторів при фіксованому положенні (звичайно на середньому рівні) решти факторів.

Методологія множинної кореляції ґрунтується на загальних принципах кореляційного аналізу. Водночас ускладнюється змістовний аналіз, зростає складність математичного апарату. При формуванні множинної кореляційної моделі потрібно враховувати ряд обмежень, пов'язаних з відбором, кількістю і взаємозв'язком факторів, вибором форми зв'язку (рівняння регресії).

Відбір найістотніших факторів до кореляційної моделі є одним з найбільш важливих і принципових завдань багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу. Відбираючи фактори, потрібно виключити ті, що взаємно дублюють один одного і перебувають у функціональному зв’язку, можливо підбирати фактори за результатами попередньо побудованих статистичних групувань.. При п змінних лінійне рівняння має вигляд:

де - залежна змінна (результативна ознака);

- початок відліку, який економічного смислуне має;

- коефіцієнти регресії.

Коефіцієнти множинної регресії показують ступінь середньої зміни результативної ознаки при зміні відповідної факторної ознаки на одиницю за умови, що решта факторів, включених до залежності, залишаються незмінними.

Ступінь тісноти зв’язку визначають за допомогою розрахунку коефіцієнта кореляції r – парного (якщо побудована залежність є парною) або часткового (при багатофакторній кореляційно-регресійній залежності).

Коефіцієнт кореляції завжди перебуває в межах від -1 до +1. Якщо r→0, то статистичний зв'язок відсутній, якщо r→+-1, то зв'язок функціональний, причому при додатному значенні прямий, а при від’ємному значенні зворотній.

Квадрат коефіцієнта кореляції називають коефіцієнтом детермінації r², який показує, яка частка загальної варіації результативної ознаки визначається досліджуваним явищем.

При множинній кореляції розраховують також коефіцієнт множинної кореляції R та коефіцієнт множинної детермінації R², коефіцієнти еластичності Е та β-коефіцієнти.

Коефіцієнт еластичності має такий зміст: він показує, на скільки процентів змінюється величина результативної ознаки у разі зміни відповідного фактора на 1% при фіксованому значенні інших факторів.

β-коефіцієнти дають можливість зробити висновок, наскільки середньоквадратичних відхилень σ_у зміниться результативна ознака при зміні відповідного фактора на одне значення середньоквадратичного відхилення σ_хі при умові сталості інших факторів, включених до рівняння кореляційно-регресійної залежності.

Значущість визначеного коефіцієнта кореляції перевіряють за допомогою критерію Стьюдента. Вибірковий коефіцієнт кореляції r є точковою оцінкою генерального коефіцієнта кореляції r_г. Оскільки вибірки будуються випадково, то в загальному випадку не можна бути впевненим, що коефіцієнт кореляції генеральної сукупності не дорівнює нулю навіть, коли r ¹0. В той же час дослідника остаточно цікавить коефіцієнт кореляції генеральної сукупності r_г, тому виникає потреба на заданому рівні значущості a перевірити нульову гіпотезу Н₀:r_г =0 про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції при альтернативній гіпотезі Н₁:r_г ¹0.

В якості критерію перевірки нульової гіпотези використовують випадкову величину

яка при вірності нульової гіпотези має t – розподіл Стьюдента з n -2 ступенями свободи. Для заданого рівня значущості a і n-2 ступеня свободи за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента знаходиться значення критичної точки t_кр. Якщо ê t ê> t_кр, нульова гіпотеза відхиляється, тобто вибірковий коефіцієнт кореляції вважають значущим і статистичні показники у та х мають лінійний зв’язок (є корельованими).

Адекватність побудованої кореляційно-регресійної залежності реальним даним визначають аналогічно за допомогою критерію Фішера. Розрахункове значення критерію Фішера знаходять так:

.

З цією метою за даним виразом обчислюється F – статистика. Далі задається рівень значущості a для k₁ =1 та k₂=n -2 ступенів свободи (у випадку парної кореляційної залежності) за статистичними таблицями F – розподілу Фішера знаходиться значення критичної точки F_кр. Якщо F>F_кр, то нульова гіпотеза відхиляється, тобто вважається, що побудована кореляційно залежність є високо адекватною реальним даним.

Задача 4. Побудуємо рівняння кореляційної залежності між урожайністю картоплі та собівартістю її 1 ц. Обчислимо, а також проаналізуємо коефіцієнти кореляції і детермінації.

Для знаходження коефіцієнтів регресії та розрахунку коефіцієнта кореляції побудуємо допоміжну таблицю 2.12.

 

Таблиця 6. Дані для визначення показників кореляційного зв’язку між собівартістю 1 ц картоплі та її урожайністю.

№ госпо-дарства	Собівартість 1 ц картоплі, грн.	Урожайність картоплі, ц/га	Розрахункові дані	Очікуване (розрахункове) значення собівартості 1 ц картоплі, грн.
y	х	у^2	х^2	yx
A	1	2	3	4	5	6
Разом n=10

 

Підставимо знайдені дані в систему рівнянь:

Поділивши перше рівняння на 2373, а друге на 10, тобто на коефіцієнти при параметрі а, дістанемо:

.

Від другого рівняння віднімемо перше:

 

38,9-36,49 = а-а +(237,3-246,1656) b;

2,41=-8,8656b.

 

Тому маємо:

 

b=-0,27 грн.

 

Знаючи значення параметра b, знайдемо параметр а:

 

38,9 = а+ 237,3·(-0,27);

 

звідки

а = 38,9+-64,1 = 102,9.

 

Отже, залежність собівартості 1 ц картоплі від її урожайності у вигляді рівняння прямої лінії має вигляд:

.

Коефіцієнт регресії b = -0,27 грн. показує, що з підвищенням урожайності картоплі на 1 ц/га собівартість 1 ц картоплі в середньому для даної сукупності господарств зменшується на 0,27 грн.

За рівнянням регресії можна визначити очікувані (розрахункові або теоретичні) значення собівартості 1 ц картоплі при різних значеннях урожайності картоплі х. За цими даними зобразимо графічно цю залежність.

Рис. 1. Кореляційне поле залежності собівартості 1 ц картоплі від її урожайності

 

Для перевірки тісноти зв’язку між явищами (в даному випадку між урожайністю картоплі та собівартістю її 1 ц) обчислимо лінійний коефіцієнт кореляції. Для цього спочатку розрахуємо середні показники: ; ;

; .

;

;

 

Коефіцієнт кореляції показує, що між собівартістю 1 ц картоплі та її урожайністю має місце сильний (тісний) зв'язок.

Розрахуємо коефіцієнт детермінації:

 

Коефіцієнт детермінації вказує на варіювання результативного фактора, тобто в даному випадку 87,03% загального варіювання собівартості 1 ц картоплі зумовлено відмінностями в її урожайності, а решта 12,97% зумовлено іншими факторами, які в даному випадку не було враховано.

 

 

Питання для самопідготовки

1. В чому полягає суть методу кореляційного-регресійного аналізу?

2. Для чого використовується метод дисперсійного аналізу і які особливості його проведення?

3. Як використовуються рівні регресії в аналізі і прогнозуванні?

4. Як здійснюється попарне порівняння середніх на основі критерію Тьюки?

5. Які основні етапи проведення кореляційно-регресійного аналізу?

6. Який алгоритм розрахунку різниці між генеральними середніми (як ефект фактору)?