Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Арифметические действия над непрерывными функциями ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Теорема. Если функции y = f (x) и g = g(x) непрерывны в точке x 0, то и функции f (x)±g(x); f (x)×g(x); при g(x)¹0; C× f (x), где C – const, также непрерывны в точке x 0. Доказательство 1. Доказательство этой теоремы вытекает из определения непрерывности функции в точке и свойств пределов функций, имеющих конечные пределы. 2. Так как функции f (x) и g(x) непрерывны в точке х 0 по условию теоремы, то на основании определения №1 непрерывности функции в точке можно написать: и . 3. Согласно теоремам о пределах алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечные пределы в точке х 0, будут существовать пределы таких функций в точке x 0: f (x) ± g(x); f (x) × g(x); , g(x)¹0; C× f (x), причем эти пределы будут соответственно равны: а) ; б) ; в) ; г) . 4. Но величины: f (x 0) ± g(x 0); f (x 0) × g(x 0); , g(x 0) ¹ 0; C × f (x 0) являются значениями соответствующих функций в точке х 0. Следовательно, согласно определения №1 непрерывности функции в точке функции f (x) ± g(x); f (x) × g(x); , g(x)¹0; C× f (x), C – const, будут непрерывны в точке x 0. ч.т.д. Пример №1. Доказать, что функция y = x непрерывна в любой точке числовой прямой. Доказательство Так как приращение функции равно приращению аргумента в любой точке числовой прямой, то есть D y =D x, то , а значит, рассматриваемая функция непрерывна в любой точке числовой прямой. ч.т.д. Пример №2. Функция такого вида y = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n является непрерывной в любой точке числовой прямой. Доказательство следует из теоремы и примера №1. Пример №3. Дробно - рациональная функция является непрерывной на всей числовой прямой, исключая нули знаменателя. Доказательство следует из теоремы и примера №2.
Односторонняя непрерывность
Наряду с понятием предела функции в точке рассматривали также понятие односторонних пределов в точке (правого и левого). Поскольку определение непрерывности функции в точке даётся через понятие предела, то можно дать определение односторонней непрерывности функции в точке. Определение №1. Функция y = f (x) непрерывна справа в точке x 0, если: 1) y =f(x) определена в некоторой правосторонней d-окрестности точки x 0; 2) Существует предел функции в точке x 0 справа, т.е. ; 3) И этот предел равен значению функции в точке x 0, т.е. . Определение №2 (на "языке e-d"). Функция y = f (x) непрерывна в точке x 0 справа, если ("e>) ($d>) (" x: x 0 £ x < x 0 + d): .
Определение №3 (на "языке окрестностей"). Функция y = f (x) непрерывна в точке x 0 справа, если: ("U(f (x 0),e)) ($U(x 0 + 0,d)) (" x ÎU(x 0 + 0,d)): f (U(x 0 + 0,d)) Í U(f (x 0),e). Определение №4 (на “языке последовательности”). Функция y = f (x) непрерывна в точке x 0 справа, если: 1) U(x 0 + 0,d) Í Df; 2) " { x n}® x 0, n ® ¥, x n ³ x 0 { f (x n)} ® f (x 0) при n ® ¥. Замечание. Аналогично определяется непрерывность функции в точке x 0 слева. Определение №5. (на “языке приращений”) Функция y = f (x) непрерывна в точке х 0 справа тогда и только тогда, когда , т.е. бесконечно малому неотрицательному приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: D x ® 0, D x ³ 0 Þ D f (x 0)® 0. Теорема. Функция y = f (x) непрерывна в точке x 0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке. Доказательство необходимости 1. Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке х 0. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке x 0 слева и справа и . 2. Так как y = f (x) непрерывна в точке х 0, то согласно определения №1 непрерывности функции в точке х 0. 3. На основании определения непрерывности функции в точке на "языке e-d" можно записать: ("e>)($d>)(" х: ÷ х – х 0÷<d): ÷ f (x) – f (x 0)÷<e. 4. Из неравенства ÷ х – х 0÷<d следует два неравенства: а) х 0 – d < x £ x 0 ; б) x 0 £ x < х 0 + d. 5. Они позволяют сделать вывод: 1) ("e>)($d>)(" х: х 0 –d < x £ x 0): ÷ f (x) – f (x 0)÷<e Û ; 2) ("e>)($d>)(" х: x 0 £ x < х 0 + d): ÷ f (x) – f (x 0)÷<e Û . Следовательно, , т.е. функция y = f (x) будучи непрерывной в точке х 0, непрерывна в точке х 0 слева и справа. Доказательство достаточности 1. Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке х 0 слева и справа, т.е. существуют пределы . Требуется доказать, что она непрерывна в самой точке х 0, т.е. 2. На основании определения предела функции в точке слева и справа можно записать: 1) ("e>)($d>)(" х: х 0 – d < x £ x 0): ÷ f (x) – f (x 0)÷<e; 2) ("e>)($d>)(" х: x 0 £ x < х 0 + d): ÷ f (x) – f (x 0)÷<e. 3. Неравенства х 0 – d < x £ x 0 и x 0 £ x < х 0 + d можно представить в виде равносильности х 0 – d < x < х 0 + d Û x ÎU(х 0, d).
4. Следовательно, ("e>)($d>)(" х ÎU (х 0, d)): . 5. Таким образом, функция y = f (x) непрерывна в точке х 0. ч.т.д. Следствие. Функция y = f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда: 1) Функция определена в некоторой окрестности точки U(х 0,d); 2) ; 3) ; 4) . Пример. Показать, что функция непрерывна в точке x 0 =2. Решение Известно, что функция непрерывна в точке x 0ÎR\{0}. Значит, функция непрерывна в каждой точке x 0ÎR\{1}. Следовательно, функция будет непрерывна в точке x 0 =2. 1. Следовательно, . 2. Определим значение функции в точке : . 3. Функция непрерывна в каждой точке x 0ÎR. Следовательно, она непрерывна и в точке x 0 =2, будет существовать . 4. Так как , x 0 =2, то заданная функция f (x) непрерывна в точке x 0 =2. Модуль Тема №4
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 1464; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.79.88 (0.017 с.) |