Предел суммы, произведение и частного функций, имеющих предел в точке

Теорема. Если существуют конечные пределы , то существуют и конечные пределы ; ;

,

причем они соответственно равны: = ;

= ;

.

Доказательство

1. Эта теорема доказывается при помощи соответствующих утверждений относительно последовательностей и на основании определения предела функции в точке по Гейне.

2. Пусть - произвольная последовательность значений аргумента для функций , и пусть сходиться к при .

3. Соответствующие последовательности значений функций будут иметь вид и , будут иметь конечный пределы, так как по условию теоремы функции имеют конечные пределы в точке .

4. В силу теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух сходящихся последовательностей и , следующие последовательности будут иметь конечные пределы = ; = ;

.

5. Тогда согласно определению предела функции в точке по Гейне существуют и конечные пределы в точке у функций соответственно:

= ; = ;

ч.т.д.

Следствие №1. Если существует предел функции в точке , то для любого действительного числа R справедливо равенство (т.е. const можно выносить за знак предела).

Следствие №2. (предел степени равен степени предела), N.

Предел сложной функции

(замена переменных для пределов функций)

 

Теорема. Пусть существуют конечные (или бесконечные) пределы функции и : и . Кроме того, пусть в некоторой проколотой - окрестности точки () определена функция . Тогда в точке существует предел сложной функции и .

Доказательство

1. Из условий теоремы следует, что существуют такие проколотые окрестности и , при и . Функция определена на проколотой - окрестности точки , т.е. и . Функция определена на проколотой - окрестности точки , т.е. и .

2. Так как , то значения функции являются областью определения функции или .

3. Следовательно, значения функции принадлежат - окрестности точки А, т.е. .

4. Последнее утверждение можно записать

5. Возьмем произвольную последовательность значения аргумента , сходящуюся к . Причем, такую последовательность , чтобы при и .

6. Тогда соответствующая последовательность значений функций будет иметь вид: .

7. Так как по условию теоремы , то предел последовательностей значений функции то же будет равен А на основании определения предела функции в точке по Гейне, т.е.

(при ) (или ).

8. Так как предел функции существует и равен и , то в соответствии с определением предела функции в точке по Гейне .

9. Последнюю запись можно представить так:

.

10. Так как для произвольной последовательности значений аргумента , сходящуюся к ( ) существует сходящаяся к соответствующая последовательность значений функции , то по определению предела функции в точке по Гейне функция тоже будет сходиться к при : .

ч.т.д.

Неравенство при R

Лемма. При любом действительном справедливо неравенство .

Доказательство

I. 1. Рассмотрим окружность радиуса с центром в точке .

2. Пусть радиус образует угол с радиусом и угол – острый, т.е. .

3. Опустим из точки перпендикуляр на радиус .

4. Тогда .

5. Проведем радиус симметрично радиусу относительно радиуса .

6. Тогда и поэтому .

7. Известно из курса школьной геометрии, что длина дуги окружности равна , -центральный угол в радианах.

8. Поэтому длина дуги .

9. Очевидно, что длина отрезка не превышает длины дуги , т.е. или или , . Так как - пол. угол, в четверти, то справедливо для .

 

II. 1. Пусть теперь , т.е. .

2. Умножим на все части неравенства п.1: или .

3. Тогда неравенство примет вид: .

4. Так как угол находится в 4-й четверти, следовательно, он отрицательный, то по определению модуля .

5. Функция нечетная: и в 4-й четверти отрицательный.

Следовательно, записанное неравенство можно заменить на при .

Итого: если обобщить результаты, полученные в I и II, то получим при , т.е. .

III. 1. Если , то , при .

2. Таким образом, для R .

ч.т.д.

Первый замечательный предел

Доказательство

1. Рассмотрим дугу окружности радиуса с центральным углом, радианная мера которого равна , причем .

2. Проведем касательную к точке , т.е. .

3. Так как то .

4.

5. Очевидно, что площадь треугольника меньше площади сектора . А площадь сектора меньше площади треугольника или можно записать: или , так как известно, что площадь сектора вычисляется по формуле , а длина дуги , где центральный угол.

6. Или или ().

7. Разделим все части неравенства на , так как , получим .

8. Найдем обратные величины от каждой части неравенства: или , .

9. Так как функция при имеет предел, равный , т.е. , то в соответствии с теоремой о сжатой переменной . ч.т.д.

Замечание

Так как функции и четны, то неравенство справедливо и при .

Следствие№1.

Доказательство

.

ч.т.д.

Следствие№2.

Доказательство

1. Функция строго монотонна и непрерывна на

2. Обозначим , тогда

3. Функция , обратная функции также строго монотонна и непрерывна на отрезке .

4. Поскольку , а , то записи и эквивалентны.

5. Вычислим предел , для этого применим правило замены переменных для пределов непрерывных функций.

6. Итак, , тогда .

ч.т.д.

Следствие№3. .

Доказывается аналогично Следствию№2. Доказать самостоятельно.

Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела функции при

(Критерий Коши существования предела функции в точке)

Теорема. Для того чтобы функция имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для всех , таких, что , и , таких, что , удовлетворяющих неравенствам и , выполнялось бы неравенство: .

Доказательство необходимости

1. Пусть - конечное число, и существует конечный предел у функции , т.е. . Надо доказать, что будут выполняться неравенства: , , , и .

2. Так как , то на основании определения предела функции в точке по Коши можно записать: .

3. Пусть также по заданному , что для , , будет выполняться неравенство .

4. Сложим неравенства п.2 и п.3: .

5. Воспользуемся свойством модуля разности двух действительных величин: .

или . ч.т.д.

Доказательство достаточности

1. Пусть . Требуется доказать, что , R.

2. Возьмем произвольную последовательность значений аргумента , сходящуюся к , , N.

3. По определению предела последовательности найдется такой номер N, что при будет выполняться неравенство .

4. Наряду с номером , возьмем другой номер , чтобы одновременно выполнялись неравенства: и .

5. Тогда по условию теоремы будет выполняться неравенство: .

6. Это неравенство выполняется при единственном требовании, что их номера были больше : .

7. Неравенство говорит о том, что последовательность значений функций имеет конечный предел на основании критерия Коши сходимости последовательности, т.е. .

8. Так как - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента при ,а - соответствующая ей последовательность значений функции, сходящаяся к конечному числу , то на основании определения предела функции в точке по Гейне, . ч.т.д.

Замечание. Если , то критерию Коши можно придать следующий вид:

.

Модуль

Тема №3