Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Представление действительного числа бесконечной
Десятичной дробью Лемма: Каково бы ни было действительное число , последовательность монотонно убывает, последовательность монотонно возрастает, и . Доказательство: 1.Пусть задано некоторое действительное число . Для определенности, пусть . 2.В силу аксиомы Архимеда: «Каково бы ни было число, существует такое натуральное число , что, : ()(): ». 3.Среди натуральных чисел возьмем такое , наименьшее из них и обладающее свойством . Обозначим его , т.е. . 4.Так как , то . Значит, можно написать . Покажем на рисунке. 5.Обозначим отрезок и разобьем его на 10 равных частей. 6.Рассмотрим последовательность отрезков , где . 1ый отрезок будет = , когда . 2ой отрезок будет = , когда . ……………………………………………………… 10ый отрезок будет = , когда . 7.Для точки возможны два случая: а) либо точка не совпадает ни с одной точкой деления; б) либо точка совпадает с одной из точек деления или 8.В случае а) точка принадлежит только одному отрезку. Обозначим его ; : , где . 9.В другом случае точка принадлежит сразу двум отрезкам. Тогда через обозначим из них тот, для которого точка не является правым концом, . 10.Разобьем отрезок в свою очередь на десять равных частей, на 10 равных отрезков. 11.Обозначим через тот из них, который содержит точку , и для которого точка не является правым концом . 12.Продолжая этот процесс разбиения на отрезок, получим последовательность вложенных отрезков: , где , (, ). 13.Каждый из отрезков содержит точку , причем точка не является его правым концом , . 14.Длина nого отрезка при . Определение №1: Конечные десятичные дроби , называются десятичными дробями, приближающими число . Определение №2: Число называется нижним десятичным приближением порядка числа , а число называется верхним десятичным приближением порядка числа . 15.Сформулируем свойства нижнего и верхнего десятичных приближений порядка nого числа : а) последовательность отрезков , образуют последовательность вложенных отрезков или ; б) длина nого отрезка к 0 при и ; в) точка принадлежит всем этим отрезкам , , т.е. , и при . г) левые концы отрезков образуют возрастающую последовательность; д) правых концы отрезков образуют убывающую последовательность . Следовательно, получаем стягивающую последовательность вложенных отрезков , .
16.Согласно замечанию №1 к теореме (принципу) Коши-Кантора точка является пределом для последовательностей и , т.е. . 17.Таким образом, лемма доказана. Замечание: Если отрицательно, т.е., , то нужно принять и выполнить подобные исследования. Следствие к лемме: Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел. Следствие теоремы вытекает из того, что и суть рациональные числа. Модуль Тема №2 Предел последовательности Лекция №8 1. Число е. 2. Подпоследовательности. 3. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности. 4. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Число е Докажем, что . Доказательство: 1.Рассмотрим последовательность с общим членом : , , …, ,…. (2; 2,25; 2,357; 2,44; …, ,…). Требуется доказать, что, – иррациональное число, т.е., что последовательность сходится к при . 2.Известно, что возрастающая последовательность, ограниченная сверху сходится к конечному числу. 3.Воспользуемся формулой бинома Ньютона: . 4.Представим выражение в следующем виде: или . 5.Аналогичным образом представим элемент данной последовательности: . 6.Сравним два выражения и , . 7.Так как, , то поэтому . 8.Сравним и . Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего слагаемого в выражении . Кроме того, у по сравнению с добавляется одно положительное слагаемое. Следовательно, , т.е. последовательность возрастает. Осталось доказать, что она ограничена сверху. 9.Рассмотрим опять nый элемент последовательности: . 10.Каждое выражение, стоящее в круглых скобках меньше 1, т.е. . 11.Учитывая это, получим, , так как . 12.Известно, что при . (Например, ; и т.д.). 13.Поэтому можно записать или . 14.Но это сумма убывающей геометрической прогрессии с ; . Следовательно, . 15.Тогда или при . 16.Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху 3. А всякая последовательность, возрастающая и ограниченная сверху (по теореме Вейерштрасса) имеет конечный предел. Как оказалось . Ч.т.д.
Модуль Тема №3
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 833; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.23.30 (0.036 с.) |