Ограниченность сходящейся последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной свер-ху, если существует число М такое, что для всех элементов последователь-ности выполняется неравенство: .

Рис.5.

Все элементы последовательности (лежат левее точки М).

Пример. ограничена сверху , .

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной сни-зу, если существует число т такое, что для всех элементов последователь-ности выполняется неравенство: .

Рис.6.

Все элементы последовательности (лежат правее точки т) [28].

Пример. ограничена снизу , .

Определение. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют числа т и М такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам .

Рис.7.

Все элементы последовательности .

Пример. ограничена, так как для любого элемента последовательности выполняется неравенство , , .

Определение. Последовательность называется неограниченной св-ерху (снизу), если она не является ограниченной сверху (снизу). [30].

Неограниченная последовательность сверху (снизу) может быть ограни-чена снизу (сверху).

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограниче-на.

Доказательство.

1. Пусть – сходящаяся последовательность, а число а – ее пре-дел.

2. Выберем .

3. Тогда существует такое натуральное число N, что будет выполняться неравенство .

4. Прибавим к левой и правой частям неравенства по положительному числу : .

5. Воспользуемся свойством модуля суммы двух действительных чи-сел .

6. Тогда левая часть неравенства пункта 4 примет вид: .

7. Примем за , тогда , - условие ограниченности последовательности. Значит последовательность – ограничена, если имеет предел [29].

Ч.т.д.

Переход к пределу в неравенствах

(Теорема о предельном переходе в неравенствах)

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (), то и пре-дел а этой последовательности удовлетворяет неравенству ().

Доказательство.

1.Пусть все элементы сходящейся последовательности , начиная с

некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Требуется доказать, что , где а – предел последовательности.

2. Предположим обратное, то есть что а < b.

3.Так как а — предел последовательности , то для ()

существует такой номер последовательности N, что при n>N выполняется неравенство или .

4. Последнее неравенство равносильно следующему двойному неравен-ству .

5.Рассмотрим правую часть неравенства . А по условию теоремы .

6. Полученное противоречие доказывает теорему [29].

Ч.т.д.

Замечание. Случай доказывается аналогично.

Следствие. Если для двух последовательностей и всегда вы-полняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный пре-дел, и , то .

Доказательство.

1. Будем доказывать методом от противного, т.е. пусть при .

2. Возьмем число между а и b в силу непрерывности действительных чисел, т.е. .

3. Рассмотрим левую часть двойного неравенства: . Так как по усло-вию теоремы и , то в силу теоремы о предельном переходе в неравенствах найдется такое , что будет выполняться неравен-ство .

4. Рассмотрим правую часть двойного неравенства: . Так как по ус-ловию теоремы и , то в силу теоремы о предельном переходе в неравенствах найдется такое , что будет выполняться неравен-ство .

5. Если за N обозначить наибольший из номеров и , то есть

, то для будут одновременно выполняться оба нера-венства: и , .

6. А по условию теоремы . Полученное противоречие доказывает

следствие к теореме [28].

Ч.т.д.