Свойства действительных чисел

Сложение действительных чисел

Для любой пары действительных чисел и определено и, причем, единственным образом действительное число, называемое суммой и обозначаемое .

Каковы бы ни были действительные числа имеют место следующие свойства:

1) – переместительное свойство (коммутативный закон сложения).

2) – сочетательное свойство (ассоциативный закон сложения).

3) Существует единственное число 0 такое, что для любого действительного числа верно ().

4) Для любого действительного числа существует число, обозначаемое и называемое противоположным данному такое, что верно .

Умножение действительных чисел

Для любой пары действительных чисел и определено и, причем единственным образом действительное число, называемое произведением и обозначаемое .

Каковы бы ни были действительные числа имеют место следующие свойства:

1) – переместительное свойство (коммутативный закон умножения).

2) – сочетательное свойство (ассоциативный закон умножения).

3) Существует единственное число 1 такое, что для любого действительного числа имеет место равенство .

4) Для любого действительного числа существует такое число , что верно .

Причем, действительное число обозначают также символом и называют обратным данному действительному числу .

 

Связь операций сложения и умножения действительных чисел

Для любой тройки действительных чисел имеет место свойство: – распределительное свойство (дистрибутивный закон умножения относительно сложения).

 

Сравнение действительных чисел или упорядоченность

1. Для любого действительного числа определено одно из соотношений:

а)

б)

в)

2. Если и , то ; .

3. Если , то говорят, что число больше и пишут .

4. Для любых двух действительных чисел и установлено одно из соотношений:

а) ;

б) ;

в) .

5. Отношение обладает таким свойством: если и , то .

6. Отношение обладает таким свойством: а) если и , то .

б) если , то .

Причем, это выполняется .

Замечание1. Вместо пишут также .

2. Запись (или ) означает, что либо , либо ().

3. а) Соотношения , , , называются неравенствами.

б) Соотношения , называются строгими неравенствами.

Непрерывность действительных чисел (принцип Дедекинда)

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831 – 1916) – немецкий математик, дал обоснование теории действительных чисел.

Пусть и – два множества, состоящие из действительных чисел. Тогда, если для любых чисел , выполняется неравенство , то существует хотя бы одно число , такое что выполняется неравенство: .

Другими словами: множество действительных чисел непрерывно, в нем нет пробелов.

 

Аксиома Архимеда

Архимед ( 287– 212 лет до н. э.) – древнегреческий ученый.

Каково бы ни было число , которое больше , т.е. .

Перечисленные свойства являются аксиомами действительных чисел.