Методические указания для выполнения контрольной работы

Теория множеств

Под множеством понимают любую совокупность объектов. Сами объекты, из которых состоит множество, называются элементами. Множества обозначают прописными буквами (А, В, С и т.д.), а их элементы – строчными (например: x,y,z). Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут x Î A. Запись x Ï A означает, что элемент x не принадлежит множеству А. Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом Æ. Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

N - множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

R – множество действительных чисел.

1.1 Способы задания множеств

Множества могут быть заданы тремя основными способами.

1. Перечислением элементов множества. Например, А= {2,7,10}.

2. Указанием характерных свойств элементов множества. Например, А ={ x Î R | x >0} – множество всех положительных чисел.

3. Описанием способа построения. Например, А = {5 ⁱ | i =1,2,… n }.

Отношения между множествами

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначается как А = В. Если множества не равны, то пишут А ¹ В.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то пишут А Í В (А является подмножеством множества В). Для числовых множеств выполняется N Í Z Í R. Считается, что Æ Í А для любого множества А.

Теорема. Множество А равно множеству В тогда и только тогда, если А Í В и В Í А.

Данная теорема дает метод доказательства равенства двух множеств.

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами более широкого множества U, то множество U называется универсальным множеством.

Диаграммы Венна

Для повышения наглядности представления множеств используют диаграммы Венна в виде кругов, ограничивающих области, которым ставятся в соответствие элементы тех или иных множеств. Например:

Если множества не имеют общих элементов, то их изображают непересекающимися кругами. В противном случае, круги пересекаются. Универсальное множество изображают в виде прямоугольника.

Операции над множествами

Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество всех упорядоченных наборов (x₁,x₂, … x_n) таких, что при i =1,2,…, n. Декартово произведение обозначается . В частности,

Например, пусть имеются множества A ={1,2}, B ={2,3,4}. Тогда

Объединением множеств А и В называется множество

 

Пересечением множеств А и В называется множество

 

Разностью множеств А и В называется множество

 

Симметрической разностью множеств А и В называется множество .

 

Дополнением множества А называется множество .

 

Введенные понятия заштрихованы на диаграммах темным цветом.