Статистическое определение вероятности.

Лекция 1. Основные понятия теории вероятности. (ТВ)- СС-1

ТВ – это раздел математики изучающий закономерности случайных явлений. «ТВ объединяет точность математических доказательств с неопределённостью случая и примеряет эти противоречивые элементы».

Испытание - модель реального действия, реализация определённого комплекса условий, который может быть воспроизведён сколько угодно раз. Задать испытание в т/в это значит задать множество его элементарных (неделимых на более мелкие) исходов W. W= .

Случайное событие - событие которое может наступить или не наступить в результате испытания. Для любого события “А” множество W элементарных событий разделяется на два подмножества W: А⁺ и А^– .

А^{+ -} подмножество благоприятных исходов вместе с каждым из которых наступает событие А⁺.

А^{– -} подмножество неблагоприятных исходов, при реализации которых событие А не происходит.

Задать событие– это значит задать подмножество А⁺ благоприятных исходов на множестве W.

Невозможное событие - событие которое никогда ни происходит в результате испытания. Достоверное событие - событие которое всегда происходит при испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.

События совместны, если они могут произойти одновременно.

Вероятность случайного события - это количественная мера степени уверенности в его наступлении.

Классическое определение вероятности: Для испытания с конечным числом равновозможных исходов вероятность случайного события “A” обозначается Р(А) и определяется как отношение числа благоприятных исходов m к общему числу n элементарных исходов испытания:

Р(А) = m/n.

Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1. 0 Р(А) 1

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Формула полной вероятности.

Пусть появление некоторого события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий В_i, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятности каждой из этих гипотез В_i на соответствующую условную вероятность появления события А.

Формулы Байеса.

Пусть появление в некотором испытании события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий В_i, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Тогда, зная вероятности гипотез Р(В_i) до проведения испытания, мы можем переоценить их после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

,

где - вероятности гипотез, вычисленные после проведения испытания, при условии, что событие А произошло (апостериорные вероятности гипотез); Р(А) – полная вероятность события А,

Р(В_i) – вероятности гипотез, известные до испытания (априорные вероятности гипотез),

— вероятность наступления события А при истинности гипотезы В_i.

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, принимая во внимание как ранее известную информацию (априорные данные), так и данные новых наблюдений (апостериорные данные).

Вычисление вероятностей событий в серии независимых испытаний.

Схема Бернулли - последовательность независимых испытаний (т.е. таких испытаний, вероятность исходов которых не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предшествующих испытаний) с двумя возможными исходами. Вероятность первого исхода - А, называемого успехом, в каждом испытаний равна р, тогда вероятность второго исхода – неуспеха, равна разности единицы и р: Р(А)=р Р()=1-р=q.

Формула Бернулли

Вероятность, что в серии из n испытаний по схеме Бернулли,событие А, произойдёт ровно k раз:

, где число сочетаний из “n” элементов по “k” элементов в каждом.

р – вероятность наступления события А в одном испытании, –вероятность не наступления события А в одном испытании, n – общее число испытаний, k – число успехов в серии из n испытаний.

Теорема Лапласа: применяется при больших значениях n, когда формулу Бернулли использовать сложно.

Пусть Р(А)=р – вероятность проявления события А в одном испытании,

тогда вероятность, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдёт точно k раз приблизительно вычисляется по формуле Лапласа:

, где ; где , .

Интегральная теорема Лапласа. – позволяет определить вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдёт не менее и не более раз.

, где , ;

Значения функций и приводятся в таблицах (см тб. 1 и 2)

Закон Пуассона распределения вероятностей массовых и редких событий.

-вероятность того, что в серии из n испытаний «успех» произойдёт ровно k раз.

где , n – общее число независимых испытаний, р – вероятность «успеха» в одном испытании.

Формула Пуассона применяется, когда n – очень велико, а р – достаточно мало.

Лекция 4. Случайные величины. СВ-1.

Случайная величина это функция, определённая на множестве случайных событий. Случайная величина в результате эксперимента принимает те или иные числовые значения, зависящие от случайных причин. Примеры: кубик, 2 монеты, рост, вес, количество успехов и т.д..

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина это случайная величина, все возможные значения которой изолированы друг от друга. Множество значений ДСВ – конечное или счётное множество.

Непрерывная случайная величина – это СВ, возможные значения которой заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. Множество её значений имеет мощность континуума.

Дискретные СВ.

Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между всеми возможными значениями данной случайной величины и их вероятностями.

Способы задания: графический, аналитический () и табличный.

						…
						…

Значения СВ , , … соответствуют полной группе событий и, ,

=1. (при n , этот ряд сходится к единице)

Функция распределения случайной величины – равна вероятности, что случайная величина примет значение меньше, чем данное. График – ступенчатая возрастающая функция.

,

Свойства дисперсии.

1) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

2) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2) , если , то эта случайная величина равна константе почти наверняка (с вероятностью 1)

Дисперсия постоянной величины равна 0.

Доказательство: Д(С) = М((С۰М(С))²) = М(С – С)² = М(0²) = М(0) = 0

3) Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин:

D()=D()+D()+ 2M( -M())( -M())

Ковариация двух случайных величин: M(( -M())( -M()))

Если независимы 0

if 0 не коррелируют

Коэффициент корреляции - = -безразмерная величина, показатель «тесноты» зависимости между случайными величинами.

 

Ковариация и корреляция с : M( -M )( -M )=D();

=

Лекция 6а. Примеры дискретных распределений: СВ2

1) Равномерное дискретное распределение на множестве натуральных чисел

; ; М()=

2) Геометрическое распределение с параметром р (0<p<1).

, ; М()= ; М()= .

3) Биномиальное распределение:

, ; М( )=np, а дисперсия: D( )= np(1-p)

 

4) Распределение Пуассона: , ; М()= ; М()

Теорема Ляпунова.

Если случайная величина равна сумме очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то эта случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.

На практике, нормально распределённой считают величину, равную сумме более чем 10 случайных величин с произвольными законами распределения.

 

Лекция 1. Основные понятия теории вероятности. (ТВ)- СС-1

ТВ – это раздел математики изучающий закономерности случайных явлений. «ТВ объединяет точность математических доказательств с неопределённостью случая и примеряет эти противоречивые элементы».

Испытание - модель реального действия, реализация определённого комплекса условий, который может быть воспроизведён сколько угодно раз. Задать испытание в т/в это значит задать множество его элементарных (неделимых на более мелкие) исходов W. W= .

Случайное событие - событие которое может наступить или не наступить в результате испытания. Для любого события “А” множество W элементарных событий разделяется на два подмножества W: А⁺ и А^– .

А^{+ -} подмножество благоприятных исходов вместе с каждым из которых наступает событие А⁺.

А^{– -} подмножество неблагоприятных исходов, при реализации которых событие А не происходит.

Задать событие– это значит задать подмножество А⁺ благоприятных исходов на множестве W.

Невозможное событие - событие которое никогда ни происходит в результате испытания. Достоверное событие - событие которое всегда происходит при испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.

События совместны, если они могут произойти одновременно.

Вероятность случайного события - это количественная мера степени уверенности в его наступлении.

Классическое определение вероятности: Для испытания с конечным числом равновозможных исходов вероятность случайного события “A” обозначается Р(А) и определяется как отношение числа благоприятных исходов m к общему числу n элементарных исходов испытания:

Р(А) = m/n.

Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1. 0 Р(А) 1

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Статистическое определение вероятности.

Относительная частота события А -отношение числа наступления события А в серии изn испытаний к общему числу испытаний n.

Если в различных сериях из n испытаний относительная частота m(А)/n события мало изменяется и близка некоторому числу Р, то это число считают статистической вероятностью.

Геометрическое определение вероятности - Применяется к испытанию с бесконечным числом равновозможных исходов. Пусть дан отрезок длины “L” и на нём отрезок “L₁” Под геометрической вероятностью принимается вероятность попадания точки на отрезок L₁, равная отношению длин этих отрезков Р(А) = ^L1/_L

Элементы комбинаторики:

Комбинаторика – это раздел математики в которой изучаются расположения (комбинации) объектов составленные по определённым правилам и способам подсчёта этих комбинаций.

Основными расположениями объектов являются: перестановки размещения и сочетания.

Основное правило комбинаторики: если элемент а₁ можно выбрать “n₁” способами и при каждом таком выборе, выбор элемента а₂ может быть произведён n₂ способами, то общее число пар (а₁;а₂) равно N = n₁۰n₂.

Перестановками называют упорядоченное множество составленное из всех элементов “A”. Перестановки отличаются друг от друга порядком элементов.

Р_n – число перестановок множества из n элементов = n۰(n – 1)۰(n – 2)…1 = n!; (0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6…).

Размещения. A_n^k упорядоченныеk- элементные подмножества n элементного множества.

Число размещений: A_n^k=n(n-1)(n-2)۰…۰(n – k + 1)=

Сочетания C_n^{k -} “k” элементные подмножества “n” элементного множества. Два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов, но не их порядком.

Связь между числом сочетаний, размещений и перестановок. A_n^k = C_n^k۰P_k

Число сочетаний: C_n^k =A_n^k/P_k =

Свойства числа сочетаний: 1). C_n^k = C_n^{n – k}; 2). C_n^k = C_{n – 1} ^{k – 1} + C ^k _{n – 1}

Лекция 2. Основные теоремы теории вероятности. СС-2

События “A” и “B” связанные с одним и тем же испытанием, называются эквивалентными, если их множества благоприятных исходов А+ и В+ совпадают. Вероятности эквивалентных событий равны Р(А) = Р(В).

– Операции над событиями –

Противоположным событием для события “A” называется новое событие - , состоящее в том, что событие “A” не произошло.

(Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А).

Суммой или объединением двух событий А и В называется новое событие С=А+В =А В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий (или событие А, или В или А и В одновременно).

Если события А и В несовместные, то сумма А+В заключается в появлении одного из них.

Произведением или пересечением двух событий А и В называется новое событие С=А۰В =А∩В, заключающееся в одновременном наступлении событий А и В.

– Свойства операций над событиями –

1). Коммутативность сложения А + В = В + А. 2). Ассоциативность сложения (А + В) + С = А + (В + С).

3). Коммутативность умножения А۰В = В۰А. 4). Ассоциативность умножения (А۰В)С = А(В۰С).

5). Сумма противоположных событий – достоверное событие.

6). Произведение противоположных событий, есть невозможное событие.