Скорости и ускорения точек тела при сферическом движении

1. Вектор скорости. Зная вектор мгновенной угловой скорости можно определить вектор линейной скорости любой точки тела. По теореме Эйлера и формуле (2.21) для вектора скорости точки можно записать (см. рис. 4.4):

, (4.4)

где - радиус – вектор точки. Эта формула носит название формулы Эйлера. Вектор имеет постоянную длину (т.к. тела абсолютно твердые), но переменное направление. Вектор может менять с течением времени и длину, и направление. Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки перпендикулярно к плоскости , проходящей через радиус – вектор точки и вектор мгновенной угловой скорости в ту сторону, куда в данный момент поворачивается тело, то есть по направлению дуговой стрелке . При этом (рис.4.4). Или

 

(4.5)

 

Пример 4.2. Коническое зубчатое колесо 1, насаженное с помощью шарикового подшипника на кривошип , катится по неподвижному коническому зубчатому колесу 2 (рис. а) к примеру 4.2). Угловая скорость кривошипа , вращающегося относительно неподвижной оси , известна и равна . Определить скорости точек , лежащих на диаметральном сечении колеса 1, проходящем через ось кривошипа перпендикулярно к неподвижной плоскости. Геометрические размеры механизма считать известными.

Решение. Колесо 1 совершает сферическое движение относительно точки с некоторой угловой скоростью . В начальный момент времени в точке введем неподвижную систему координат и подвижную систему координат . Как и прежде подвижную ось направим по оси вращения тела, совершающего

 

сферическое движение, то есть по оси собственного вращения зубчатого колеса 2 (рис. а) к примеру 4.2). Лини узлов в начальный момент времени совпадает с осями и , а в процессе движения она будет над или под подвижной осью . На рис. в) к примеру 4.2 для произвольного момента времени показано положение осей при наблюдении с положительного конца оси . На рис. г) к примеру 4.2 показано для произвольного момента времени положение осей координат при наблюдении с положительного конца оси . Видим, что углы и меняются. Угол . Модули соответствующих угловых скоростей , , . По (4.2) имеем . В этом равенстве полностью известен вектор и известно направление векторов . При этом направлен по мгновенной оси вращения (, так как это точка касания подвижного колеса с неподвижным. Рис б). Тогда из прямоугольника векторов угловых скоростей находим . По теореме Эйлера имеем или , что совпадает с предыдущим результатом. Точка находится от мгновенной оси на расстоянии . Следовательно, . Ответ: , , .

2. Векторы ускорения точек тела при сферическом движении. Зная вектор мгновенного углового ускорения можно определить линейные ускорения любой точки тела.

4.7. Теорема Ривальса: Вектор полного ускорения любой точки твердого тела, совершающего сферическое движение, равен сумме векторов вращательного и осестремительного ускорений.

или (4.6)

 

где , . (4.7)

Действительно, дифференцируя по времени (4.4) по аналогии с формулой (2.22) получим формулу (4.6). Здесь - вектор полного ускорения точки . - вектор вращательного ускорения точки. Он перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы , и направлен по дуговой стрелке (направление определяется по правилу векторного произведения). В общем случае он не направлен по касательной к траектории, как вектор скорости точки , так как векторы и не лежат на одной прямой (рис.4.4). - вектор осестремительного ускорения точки тела. Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и направлен к мгновенной оси вращения по перпендикуляру (рис.4.4).