Уравнения движения тела с одной неподвижной точкой

4.1. Если в процессе движения твердого тела только одна из его точек остается неподвижной, то движение тела называется движением тела с одной неподвижной точкой или сферическим движением.

При сферическом движении точки твердого тела движутся по траекториям, лежащим на сферических поверхностях разного радиуса, но с центрами в неподвижной точке тела . Радиус сферы, по которой движется произвольная точка , равен расстоянию от точки до неподвижной точки тела (рис.4.2).

Фото 4.1

Сферическое движение в чистом виде (например, детская юла, когда она еще не сошла с точки вращения, гироскоп в кардановом подвесе) или в комбинации с другими движениями (вращение шаровых опор в автомобилях, вращение тел, брошенных под углом к горизонту) достаточно часто встречается на практике. В то же время, вращение твердого тела относительно неподвижной оси является частным случаем сферического движения. Та же юла до момента времени пока её ось остается вертикальной, вращается относительно неподвижной оси.

Чтобы определить сферическое движение тела введем две системы отсчета. Систему координат жестко свяжем с неподвижным телом отсчета, которое на рисунках не показано. С движущимся телом жестко свяжем подвижную систему координат . Начала обеих систем координат находятся в неподвижной точке . В подвижной системе координат произвольная точка тела имеет координаты , не зависящие от времени. Кроме того предполагается, что форма и размеры движущегося тела известны.

Пусть в начальный момент времени подвижная система координат совпадает с неподвижной. Если тело вращается так, что оси совпадают, то приходим к изученному ранее вращению тела относительно неподвижной оси. Положение тела в любой момент времени определяется одним единственным углом , который показан на рис.4.1.

 

 

Тело с одной неподвижной точкой в произвольный момент времени показано на рис. 4.2. Для того чтобы однозначно определить положение тела и его произвольной точки в неподвижной системе координат , необходимо определить положение подвижной системы координат по отношению к неподвижной системе координат в любой момент времени. Это можно сделать задав три угла Л. Эйлер (рис.4.2).

 

, , (4.1)

 

4.2. Уравнения (4.1) называются уравнениями сферического движения твердого тела. ( Углы измеряются в рад).

Действительно, пусть в течении некоторого промежутка времени тело движется так, что , , . Это означает, что подвижная координатная плоскость наклонилась по отношению к неподвижной плоскости на угол и пересеклась с ней по прямой , которая называется линией узлов. Положение линии на плоскости задано углом , и в рассматриваемый промежуток времени не меняется. Так как меняется угол , то тело вращается относительно наклонной оси . - это закон вращения тела относительно наклонной оси . Такое движение может быть исследовано по теории вращения твердого тела относительно неподвижной оси (рис.4.1), а угол между линией узлов и подвижной осью называется углом собственного вращения. Положение самой прямой на плоскости определяется углом , который называется углом прецессии. Если функции , , а , то тело совершает собственное вращение вокруг оси . Одновременно ось описывает коническую поверхность с углом при вершине . Таким образом, две функциями , определяют положение подвижной оси относительно неподвижной оси . Прибавив к углу угол находится положение оси на наклонной плоскости . Наконец, угол между осями (читай между плоскостями и ) определяется углом , который называется углом нутации.

4.3. За положительные направления отсчета углов , , принимаются направления, соответствующие поворотам тела против часовой стрелки, если наблюдать вращение с положительных концов осей , , соответственно (рис.4.2). (Такое же правило было принято для закона вращения в теории вращения твердого тела относительно неподвижной оси).

Из (4.1) следует, что сферическое движение твердого тела как бы состоит из трех одновременных вращений тела относительно трех разных мгновенных осей вращения (то есть осей, меняющих при движении свое положение в пространстве). Алгебраические угловые скорости этих вращений обозначим , , . Соответствующие векторы угловых скоростей обозначаются , , и направляются по осям соответственно так, чтобы с конца любого вектора соответствующий поворот тела наблюдался происходящим против часовой стрелки (рис.4.3). (Такое же правило было принято для вектора угловой скорости в теории вращения твердого тела относительно неподвижной оси).

Суммируя векторы угловых скоростей , , находим мгновенную угловую скорость тела и его мгновенную ось вращения.

 

= ₊ + . (4.2)

 

4.4. Мгновенной осью вращения тела при сферическом движении называется прямая, по которой направлен вектор мгновенной угловой скорости и точки которой имеют в данный момент времени линейные скорости равные нулю.

Формула (4.2) проясняет механизм сферического движения, что отражено в следующей теореме.