жидкости (интеграл Бернулли)

 

При установившемся движении траектории и линии тока совпадают, и параметры течения являются функциями только координат. Считая движение баротропным, т. е. , уравнения Эйлера запишем в виде

 

, , .

 

После умножения каждого уравнения на соответствующее приращение , , и их суммирования получаем

 

. (3.27)

 

Так как на линии тока , и , левая часть уравнения (3.27) представляет собой полный дифференциал . Следовательно, и правая часть уравнения (3.27) должна быть суммой полных дифференциалов:

 

и .

 

Тогда уравнение (3.27) можно переписать в виде

 

или . (3.28)

 

Взяв неопределенный интеграл от выражения (3.28), получим . С учетом выражения для функции давления

. (3.29)

Полученное выражение есть интеграл уравнений Эйлера для установившегося движения сжимаемого газа, который носит название интеграла Бернулли. Интеграл Бернулли (3.29) тождественен по записи интегралу Эйлера–Бернулли. Однако разница здесь существенна и заключается в том, что произвольная постоянная в интеграле Бернулли (3.29) есть постоянная только вдоль линии тока.

Для несжимаемой жидкости и уравнение (3.29) перепишется в упрощенном виде: . Пренебрегая массовыми силами (для газа), получаем уравнение Бернулли в виде

 

. (3.30)

 

Уравнение Бернулли (3.30) показывает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости полный напор вдоль линии тока остается неизменным.

Для сжимаемого газа (без учета массовых сил) уравнение (3.29) имеет вид . Для изоэнтропического течения . Отсюда , и дифференциал , а . Поэтому

.

 

Уравнение Бернулли для сжимаемого газа будет иметь вид

 

, (3.31)

 

где – полная энтальпия, включающая энтальпию и кинетическую энергию единицы массы движущегося газа. Уравнение Бернулли есть уравнение энергии для изоэнтропического течения сжимаемого (или несжимаемого) газа.

Выражения для полной энтальпии можно записать через параметры заторможенного газа: . Другие формы представления энтальпии будут приведены далее.

Сравнивая интегралы Лагранжа и Бернулли, можно заметить, что интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, так как годится и для неустановившихся движений. Однако он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротропности во всем пространстве движущейся жидкости.

 

 

Примеры на применение уравнения Бернулли

 

Рассмотрим порядок применения уравнения Бернулли для нахождения установившегося течения газа через малое отверстие, для объяснения возникновения подъемной силы и оценки влияния сжимаемости.

 

Установившееся истечение газа из сосуда

Через малое отверстие

 

Рассмотрим истечение газа из сосуда неограниченных размеров через малое отверстие с площадью поперечного сечения . Параметры состояния внутри сосуда – . Определим расход газа при установившемся характере истечения. Обозначим через давление, плотность и скорость газа на выходе из отверстия. В качестве исходных уравнений запишем следующее:

– условие изоэнтропичности , откуда ;

– интеграл Бернулли в виде .

Тогда скорость истечения газа из сосуда через отверстие равна

 

,

 

а массовый расход газа через отверстие определится как

 

. (3.32)

Определим, при каком отношении давлений массовый расход имеет максимальное значение . Возьмем производную от выражения (3.32) и приравняем ее к нулю:

 

.

 

Очевидно, что максимальное значение расход газа имеет тогда, когда полученная производная обращается в нуль, т. е. когда сомножитель в квадратной скобке последнего выражения равен нулю. Отсюда получаем, что , или , т. е. максимум расхода достигается при значении отношения давлений

 

.

 

Если мало отличается от давления окружающей среды , то давление в струе газа на выходе из отверстия устанавливается равным и расход определяется по формуле (3.32). Если далее уменьшать (т. е. ), то расход будет возрастать (рис. 3.2), достигнув максимума при давлении . Дальнейшее понижение в соответствии с формулой (3.32) должно приводить к уменьшению расхода. В действительности же, как показывают эксперименты, расход остается постоянным и равным максимальному расходу. Следовательно, при величине давление на выходе из отверстия всегда равно , и .

Элементарное объяснение возникновения

подъемной силы

 

Рассмотрим обтекание профиля несжимаемой жидкостью . В передней критической точке О (рис. 3.3) центральная струйка разветвляется на две: ОАВ и ОDВ. Путь ОАВ > ОDВ, а частицы жидкости, разделившись в точке О, должны одновременно встретиться в точке В (в силу уравнения неразрывности). Тогда средняя скорость движения частиц вдоль верней части профиля должна быть больше, чем вдоль нижней ().

Воспользуемся уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости . Записав его для верхней и нижней частей профиля получим, что , т. е. давление на нижней стороне профиля больше, чем на верхней. Этот перепад давления и приводит к появлению равнодействующей, направленной вверх, – подъемной силы.

Так как и OAB > ODB, то циркуляция скорости по замкнутому контуру вокруг профиля равна , т. е. еще раз подтверждается вывод, что для создания подъемной силы необходимо, чтобы Г .

Оценка влияния сжимаемости

 

Выясним, примерно до каких скоростей можно рассматривать газ как несжимаемую жидкость. Из уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости расчетная формула для давления торможения получается автоматически:

. (3.33)

 

Определим теперь давление торможения по уравнению Бернулли, записанному с учетом сжимаемости: После преобразований формула для расчета полного давления в сжимаемом газе выглядит следующим образом:

.

Так как влиянием сжимаемости можно пренебречь только при достаточно малых числах Маха, примем, что М << 1 и разложим выражение для по формуле бинома Ньютона:

 

+

 

Отсюда и при получаем выражение , которое представим в виде

 

, (3.34)

 

где Сравнивая формулы (3.33) и (3.34), можно заметить, что представляет собой погрешность, отнесенную к скоростному напору, при определении давления торможения без учета сжимаемости. Темпы роста величины погрешности с увеличением числа Маха можно проследить по приведенным данным (табл. 3.1).

 

Таблица 3.1

Погрешности определения давления без учета сжимаемости газа

 

Число Маха, М	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Погрешность ε, %	0,25	1,0	2,25	4,0	6,25

 

Допуская ошибку при определении не более 2 %,можно пользоваться уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости (т. е. проводить определение давления без учета сжимаемости воздуха) до чисел Маха М < 0,3. При M > 0,3 с ростом числа Маха ошибка в определении давления резко возрастает.

Таким образом, мы познакомились со всеми уравнениями, описывающими движение газа как сплошной среды. В следующей главе будет рассмотрен случай одномерного движения газа.

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Какие силы, действующие на рассматриваемый объем газа, относятся к поверхностным силам, а какие – к объемным (массовым)?

2. Дайте определение и запишите первый закон термодинамики.

3. Назовите закон сохранения, который был использован при выводе уравнения неразрывности. В чем его суть?

4. При выводе уравнения, выражающего закон сохранения энергии, были введены следующие понятия: – теплосодержание единицы массы движущейся жидкости; – теплосодержание единицы массы покоящейся жидкости. Как эти понятия стыкуются с такими энергетическими характеристиками, как энтальпия и полная энтальпия (энтальпия торможения)?

5. Для того, чтобы некоторый процесс был адиабатическим, необходимо соблюдение следующих условий: и , где – вектор ускорения от массовых сил. Что это означает (когда эти условия выполняются)?

6. Какую физическую величину называют удельной теплоемкостью? Что больше: удельная теплоемкость при постоянном давлении или удельная теплоемкость при постоянном объеме ? Каким образом связаны удельные теплоемкости и с физическими константами, характеризующими данный сорт газа, и ?

7. При интегрировании дифференциальных уравнений Эйлера для частных случаев движения жидкости были получены интеграл Эйлера–Бернулли и интеграл Бернулли, имеющие одинаковую запись: . В чем отличия этих интегралов друг от друга?

8. Какое движение жидкости называется баротропным? Для каких термодинамических процессов можно ввести это понятие?

9. До каких чисел Маха можно рассматривать воздух как несжимаемую жидкость, т. е. проводить определение давления без учета сжимаемости среды? Какова в этом случае предельная скорость движения воздуха (м/с) при нормальных условиях?

10. Что можно сказать о величине расхода воздуха, вытекающего из сосуда через малое отверстие, если давление в окружающей среде на выходе из отверстия ? Чему при этом равно давление в струе на выходе из отверстия?