Складання операторних розв’язків

Розглянемо порядок складання операторних розв’язків на прикладі електричного кола на рис. 7.4.

Рис. 7.4

Складання операторних рівнянь включає в собе математичний опис отриманої схеми відомими методами розрахунку лінійних кіл: застосування законів Кірхгофа, методів контурних струмів та вузлових потенціалів, методу накладання, методу еквівалентного генератора.

Після вибору раціонального метода розрахунку визначаються операторні зображення струмів в вітках та напруг на елементах кола.

Складемо рівняння за методом контурних струмів для кола, наведеного на рис.7.4. Виберемо напрямки контурних струмів та напрямки обходу контурів за часовою стрілкою.

(7.6)

Знайдемо операторні вирази для контурних струмів. Виразимо з першого рівняння системи (7.6) струм І₂₂(р):

(7.7)

Підставимо рівняння (7.7) в друге рівняння системи рівнянь (7.6) і знайдемо І₁₁(р):

(7.8)

Після нескладного перетворення отримаємо операторне зображення струму І₂₂(р):

(7.9)

Визначимо операторні зображення для струмів віток кола:

І_С(р) = І₂₂(р), І₁(р)=І₁₁(р),

І_L(р) = І₁₁(р)- І₂₂(р) = (7.10)

Розглянемо вирази (7.8), (7.9), (7.10). Знаменники цих виразів вийшли однаковими або відрізняються на множник р. При знаходженні операторних зображень струмів в вітках та напруг на елементах кола знаменники повинні виходити однаковими або відрізняться на множник р.

Визначення оригіналів

Якщо отримане операторне зображення струму та напруги має табличне значення, то знаходження оригіналу здійснюється за допомогою табл. 7.1, якщо отримана функція не має табличного вигляду, то перехід до оригіналу здійснюється за допомогою теореми розкладення.

Отриману функцію І(р) або U(р) представляють у вигляді співвідношення двох поліномів:

І(р) = N(p) / М(р) (7.11)

Визначаються корені рівняння М(р)=0. В залежності від виду коренів знаменника теорема розкладення може мати наступні форми:

1. Якщо корені рівняння М(р)=0 різні і серед них немає коренів, які дорівнюють кореням рівняння N(p)=0, то оригінал струму i(t), який відповідає зображенню (7.11), може бути знайденим відповідно теоремі розкладення:

(7.12)

де m - число коренів знаменника М(р)=0.

2. Якщо в рівнянні М(р)=0 існує n різних коренів (р₁, р₂….р_n) і з них корінь р₁ кратністю m₁, корінь р₂ кратністю m₂, то оригінал струму буде знаходитись за формулою:

(7.13)

Тут вираз, що міститься в знаменнику квадратної дужки, треба спочатку скоротити на і лише послу цього диференціювати. Другий шлях пропонує представлення операторного зображення І(р) або U(р) у вигляді простих дробів. Перехід до оригіналу для суми простих дробів може бути здійснений за допомогою таблиці оригіналів та зображення.

3. Якщо серед n коренів є пара комплексних спряжених коренів ,тотеорема розкладення може бути представлена в наступному вигляді:

(7.14)

Знайдемо оригінал струму i_L(t) за його операторним зображенням (7.10). Задамося параметрами кола: R₁=10 Ом, L=0.1 Гн, С=100 мкФ, напруга джерела U=100 В. Приймаємо i_L(-0) = 5 А, U_С(-0)=50 В. Підставимо числові дані в вираз (7.10) та перетворимо його, визначивши коефіцієнти поліномів чисельника та знаменника:

(6.5)

m

(6.4)

І_L(р)= (7.15)

Визначимо корені поліномів чисельника та знаменника.

N(p)=

р₄ = - 230, р₅ = - 670 (7.16)

М(p)= р(

р₁=0, р₂ = - 113, р₃ = - 887 (7.17)

Порівнюючі корені чисельника та знаменника можливо зробити висновок, що серед них немає рівних коренів, тому застосовується форма теореми розкладення (7.12):

Знайдемо значення полінома чисельника шляхом підстановки в N(p) коренів знаменника:

N(p₁)=

N(p₂)=

N(p₃)= (7.18)

Візьмемо похідну від полінома знаменника:

Знайдемо значення похідної М’(p) для коренів знаменника.

М’ (p₁)=

М’(p₂)=

М’(p₃)=

Визначимо оригінал струму i_L(t)

i_L(t) =