Методика розв’язання задач для змінних сил шляхом інтегрування

1. Визначаємо усі сили, що діють на точку.

2. Записуємо диференціальне рівняння руху точки під дією сили

.

3. Вибираємо систему координат, зручну для умов задачі, та записуємо диференціальні рівняння в проекціях на вісі.

4. Інтегруємо диференціальні рівняння та визначаємо сталі інтегрування з початкових умов.

В залежності від виду сили, що діє на матеріальну точку, можливі наступні випадки:

а) сила залежить лише від часу . В цьому випадку можна розділити змінні і послідовно знайти та . Розв’язання задачі зводиться до інтегрування функції та її первісної.

б) сила залежить лише від швидкості точки . У випадку, коли кожна декартова проекція сили залежить тільки від відповідної проекції швидкості, диференціальне рівняння руху розкладається на три скалярних рівняння. Наприклад, для x - компоненти отримуємо

.

Це рівняння допускає розділення змінних і розв’язання задачі зводиться до двох послідовних інтегрувань. Зауважимо, що після першого інтегрування знайдемо . Розв’язавши останнє рівняння відносно будемо мати звідки повторне інтегрування дає .

в) сила залежить лише від координати точки . В цьому випадку диференціальне рівняння руху точки має вигляд

, (3.1)

і безпосередньо розділити змінні в такому рівнянні не вдається, тому виконуємо наступне перетворення

. (3.2)

Після цього змінні в (3.1) можна розділити

, (3.3)

і після інтегрування останнього виразу отримати

, (3.4)

в якому - первісна функції .

Початкові умови = та = дозволяють визначити сталу інтегрування та явно записати

. (3.5)

Після розділення змінних в (3.5) та інтегрування, отримаємо

. (3.6)

Зауважимо, що в загальному випадку виникає складний інтеграл, який значно спрощується, коли .

Користуючись початковими умовами з (3.6) визначаємо другу сталу інтегрування . Підставляючи її значення в (3.6) і розв’язуючи отримане рівняння відносно координати , знаходимо її залежність від часу та сталих інтегрування (чи початкових умов)

.

Приклад 1. Визначення закону руху точки, коли на неї діє сила, що залежить лише від часу.

Знайти закон руху точки масою = 3 кг, на яке діє сила
+ Н. На момент часу = 0 с, м та м/с.

Розв’язання. Оскільки ми маємо справу з рухом в площині , то рівняння руху точки має вигляд:

.

Будемо окремо розв’язувати задачу для кожної координати. Для руху вздовж осі , з врахуванням значення маси, отримуємо

з початковими умовами: = – 2 м; = 2 м/с.

Щоб розділити змінні, помножимо обидві частини диференціального рівняння на та після інтегрування отримаємо

.

Підставляючи початкові умови, маємо

2 = 6·0²+ С ₁,

звідки знаходимо = 2 м/с, тому, останній вираз запишемо в вигляді

м/с.

Помножимо на останнє рівняння та після інтегрування отримаємо

.

З початкових умов маємо

–2 = 2·0 + 2·0³ + С ₂,

звідки знаходимо = – 2 м, тому остаточне рівняння руху матеріальної точки вздовж осі приймає вигляд

.

Для руху вздовж осі , з врахуванням значення маси, отримуємо

.

з початковими умовами: м, = 5 м/с.

Виконуючи ті ж самі кроки, що і для розв’язання диференціального рівняння руху вздовж осі , після першого інтегрування отримаємо

.

Підстановка початкової умови = 5 м/с дозволяє записати

м/с,

і визначити .

Таким чином, вираз для швидкості приймає вигляд

.

Останній вираз помножимо на , повторно інтегруємо та отримаємо

.

Підставимо в останній вираз початкову умову м

,

і знаходимо = 4 м. Остаточне рівняння руху точки вздовж осі приймає вигляд

м.

Відповідь: м.