Смо з необмеженим очікуванням

Нехай є - канальна СМО з чергою, на яку не накладено обмежень ні по довжині черги, ні за часом сподівання. У силу необмеженості черги кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, тому , .

Для СМО з необмеженою чергою накладається обмеження . Якщо цю умову порушено, то черга зростає до нескінченності, наступає явище «вибуху».

Імовірність простою каналів

. (2.68)

Імовірність зайнятості обслуговуванням каналів

. (2.69)

Імовірність зайнятості обслуговуванням всіх каналів при відсутності черги

. (2.70)

Імовірність наявності черги є ймовірність того, що кількість вимог в системі більше числа каналів:

. (2.11)

Імовірність для заявки потрапити в чергу є ймовірність зайнятості всіх каналів, ця ймовірність дорівнює сумі ймовірностей наявності черги і зайнятості всіх каналів при відсутності черги:

. (2.72)

 

Середнє число зайнятих обслуговуванням каналів

. (2.73)

Частка каналів, які зайняті обслуговуванням,

. (2.74)

Середнє число заявок в черзі (довжина черги)

. (2.75)

 

Середнє число заявок у системі

. (2.76)

Середній час очікування заявки в черзі

. (2.77)

 

Середній час перебування заявки в системі

, . (2.78)

 

СМО з очікуванням і обмеженою довжиною черги

Є - канальна система з очікуванням, в якій кількість заявок, що стоять в черзі, обмежена числом , тобто заявка, яка застала всі канали зайнятими, стає в чергу, тільки якщо в ній знаходиться менше заявок. Якщо число заявок в черзі дорівнює , то остання заявка, що прибула, в чергу не стає і покидає систему не обслуженою.

Системи з обмеженою чергою є узагальненням двох розглянутих раніше СМО: при =0 одержуємо СМО з відмовами, при – СМО з очікуванням.

 

Імовірність простою каналів

. (2.79)

Імовірність відмови в обслуговуванні дорівнює ймовірності того, що в черзі вже стоять заявок:

. (2.80)

Відносна пропускна здатність є величина, яка доповнює ймовірність відмови до 1, тобто ймовірність обслуговування

. (2.81)

 

Абсолютна пропускна здатність визначається рівністю

. (2.82)

Середнє число зайнятих каналів

. (2.83)

Середня довжина черги, тобто середнє число заявок в черзі

. (2.84)

Середній час очікування обслуговування в черзі

. (2.85)

Середнє число заявок в СМО

. (2.86)

Середній час перебування заявки в СМО

, . (2.87)

 

Замкнуті СМО

До цих пір ми розглядали системи, в яких вхідний потік ніяк не пов'язаний з виходять. Такі системи називаються розімкнутими. У деяких же випадках обслужених вимоги після затримки знову надходять на вхід. Такі СМО називаються замкненими. Поліклініка, що обслуговує дану територію, бригада робітників, закріплена за групою верстатів, є прикладами замкнутих систем.

У замкнутої СМО циркулює один і той же кінцеве число потенційних вимог. Поки потенційне вимога не реалізувалося в якості вимоги на обслуговування, вважається, що воно знаходиться в блоці затримки. У момент реалізації воно надходить в саму систему. Наприклад, робочі обслуговують групу верстатів. Кожен верстат є потенційним вимогою, перетворюючись на реальне в момент свого поломки. Поки верстат працює, він знаходиться в блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у самій системі. Кожен робочий є каналом обслуговування.

Нехай – число каналів обслуговування, - число потенційних заявок, , – інтенсивність потоку заявок кожного потенційного вимоги, – інтенсивність обслуговування .

Імовірність простою системи визначається формулою

. (2.88)

Фінальні ймовірності станів системи

при , при . (2.89)

Через ці ймовірності виражається середнє число зайнятих каналів

або

. (2.90)

Через знаходимо абсолютну пропускну здатність системи

, (2.91)

а також середнє число заявок в системі

. (2.92)

Питання для самоконтролю

1. Охарактеризуйте структуру та наведіть класифікацію СМО.

2. Наведіть характеристики вхідного потоку вимог.

3. Охарактеризуйте інтенсивність потоку заявок.

4. Як характеризується завантаження СМО?

5. Надайте визначення харківського випадкового поцесу.

6. Як визначити показники ефективності роботи СМО?