Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Дано: , (8) и – действительные числа, соответствующее однородное уравнение имеет вид: , характеристическое уравнение будет: . При известном общем решении однородного дифференциального уравнения частное решение неоднородного находится вариацией постоянных, а затем составляется общее решение (8). Метод вариацмм применим к (8) при и в этом смысле универсален. Однако, для частных случаев чаще применяется метод подбора. Общее правило. Если может быть представлена в виде , (9) где , – действительные числа, и – целые рациональные функции степеней и , тогда (8) имеет частное решение вида . (10) Здесь – кратность корня характеристического уравнения. Если же не является корнем, то . , и – многочлены степени . Коэффициенты и определяются из тождества после подстановки в (8). Далее, как обычно, общее решение есть сумма и . Если же не может быть сразу представлена в виде (9), но является суммой таких выражений, то используется теорема о наложении решений. Для обоснования рассмотрим два частных случая и выведем правила нахождения для каждого случая. Случай 1. , , – . Этот случай соответствует . будем искать в виде . Подставим в (8), получим , где есть: 1) многочлен -ной степени, если . 2) многочлен -й степени, если , . 3) многочлен -й степени, если . В первом случае приходим к тождеству , (*) из которого можно найти неопределеные коэффициенты . Во втором случае, , , то есть когда есть корень характеристического уравнения, тождество (*) невозможно, так как степень на 1 меньше степени . Чтобы их сравнять, надо умножить на . При этом степень повышается на 1. То есть мы будем искать решение в виде . В третьем случае умножается на , то есть . Правило 1. Если есть , то частное решение надо искать в виде , где – многочлен -й степени, а – кратность корня . Для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить в (8) и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . Пример. , , корень – однократный, тогда ,
, , и . Случай 2. , , . (*) Сделаем замену ,
, где , . Таким образом, уравнение (*) сведено к частному случаю, рассмотренному выше. Следовательно:
1. Если , тогда , где коэффициенты следует определить. 2. , , то есть если – простой корень характеристического уравнения, то .
3. , то есть – двойной корень характеристического уравнения, то . Правило 2. Если , то , где – кратность корня в характеристическом уравнении. Пример. , и . , подставляя в дифференциальное уравнение, получим: , , . .
Перейдем теперь к общему случаю: .
Вспомогательная теорема. Пусть в уравнении (*) – принимает комплексные значения и пусть – некоторое решение. Тогда есть решение уравнения , есть решение уравнения .
Положим , . Дважды дифференцируя и подставляя в (*), получим: , отсюда, по равенству комплексных чисел, следует доказательство теоремы. Следствие. Если есть решение уравнения , то есть решение уравнения .
Заменим теперь в общем уравнении и по формулам Эйлера: , , перегруппируем и введем новые обозначения: , , , тогда .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 159; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.30.162 (0.017 с.) |