Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула Остроградского-Лиувилля
Пусть и – решения (2), следовательно, . (3) Это означает, что двух решений уравнения (2) есть одно из решений дифференциального уравнения (1). Рассмотрим уравнение . () Решая его, получим:
. Поскольку начальное условие произвольно, то и является фактически произвольной константой: . Так как определитель Вронского есть одно из решений (), то для него также справедлива следующая формула: . (4) Формула Остроградского-Лиувилля справедлива для любых двух решений уравнения (2). Функция непрерывна, следовательно, и справедливо следующее утверждение: вронскиниан либо тождественно равен нулю, если , либо не равен нулю ни при одном , если . Таким образом, определитель Вронского для фундаментальной системы решений не только тождественно не равен нулю, но и не обращается в ноль ни при одном . Существенной является непрерывность . Существование ФСР (2)
Теорема: Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений. Доказательство: Рассмотрим дифференциальное уравнение и две системы начальных условий: , , , , , где . Пусть и – частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему: . Теорема доказана.
Основная теорема: Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные. Доказательство: Пусть и – фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию , где , есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить из выбором и . Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий , , . Положим , тогда , , отсюда и . Так как , то и есть общее решение. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.
Пусть есть известное решение и нужно найти . Так как и , то при получаем: . И, наконец, при . Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение , . Тогда . Общее решение будет: .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка Теоремы о частных решениях
Рассмотрим неоднородное уравнение (1) и соответствующее однородное уравнение . (2)
Теорема 1: Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Доказательство: Пусть и – частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функцию вместе с ее производными: . Теорема доказана.
Теорема 2: Если – частное решение уравнения (1), – частное решение соответствующего однородного уравнения, то есть новое частное решение уравнения (1). Доказательство: Справедливы следующие соотношения: , , значит, . Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1). Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка: , где и есть линейно независимые частные решения уравнения (2).
Теорема 3: Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и , и если есть частное решение уравнения (1) с правой частью , а – частное решение уравнения (1) с правой частью , то – частное решение уравнения (1) с правой частью . Доказательство: Рассмотрим уравнение , подставим и в уравнения и соответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим: . Теорема доказана.
Пример: , (1)
, , (2) , . (3) Тогда – частное решение уравнения (1).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 1625; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.136.170 (0.019 с.) |