Классификация ДУ-ий в частных производных 2-ого порядка с двумя независимыми переменными.

Многие физ. задачи приводят к ду в част. произ-ых 2-го порядка относит-о искомой функции.Общий вид таких ду след.: .

Линейное ду отн-но старших произ-ых имеет вид:

где коэфиц. а_ij явл. только фун-ми независимых переменных х.Если они зависят также и от искомой функции u и её первых частных производных,то ду (1) наз. квазилинейным.Ду (1) наз. линейным,если оно линейно не только относительностарших роизводных,но и относительно искомой функции и её первых частных произ-ых.Такое ду имеет вид:

Рассмотрим ду (1) в случае двух независимых переменных,имеет вид:

где вещ-ые функции а_ij зависит только от независимых переменных x и y и опр-ся на обл. D.Так же будем считать,что на этой обл. все коэф. а_ij одновременно в 0 не обр-ся.

Пусть где ξ и η дважды непрер-о диф-мы на обл. D.Преобр. (4) осущ-ет взаимно однозначное отобр-ие обл. D на обл.G.Нужно,чтобы якобиан перобр. (4) ≠0: .

Отобр-ие (4) будем подбирать так,чтобы в новых перем-х ду (3)имело наиболие простой вид.Преобр-ем ду (3) к новым переменным пологая В новых перем. ду (3) примен. вид:

есть функция не зав-ая от старших произ-ых. Проверкой убеждаемся,что Соот-я (4)-(10) позв. ввести след. классиф-ю квазалинейных ду (3),линеёных относительно старших производных. Опр1. Если в точке М₀(х₀,у₀):1)выражение а₁₂²-а₁₁а₂₂>0,то ду (3) наз. ур. гиперболического типа в точке М₀(х₀,у₀);2) выражение а₁₂²-а₁₁а₂₂=0,то ду (3) наз. ур. параболического типа в точке М₀(х₀,у₀);3) выражение а₁₂²-а₁₁а₂₂<0,то ду (3) наз. ур. эллиптического типа в точке М₀(х₀,у₀).Согласно (10) при любой невыр-ой замене (4) незав. перем. типа ду(3) не изменяется.Поэтому он явл. инвариантом при невыр-ых заменах незав. перем-ых.Это позволяет ввести такие ограничения. Опр2. Если тип ду(3) одинаково во всех точках обл.D,то наз. уравнение данного типа во всей обл-и. Опр.3. Если в разных точках обл. D ду(3) принадлежит разным типам,то наз. ур. смешенного типа на этой обл. Замечание: Рассмотрим квадр. форму,сост. из старших коэф-в ду(3),взятых в точке М₀(х₀,у₀): Не трудно видеть,что классиф. ду(3) совпадает с классиф. квадр. формы (11).

 

 

24.Решение задачи Дирихле для круга методом разделения переменных. На пл-ти с коорд. рассмотрим круг радиуса , описанный вокруг начала координат (0,0). Граница круга –окружность . Для круга сформул. внутр. задачу Дирихле для ур-ния Лапласа: в обл. , (1) с граничн.усл. , (2)где - заданная функция на окружности .

Требуется найти решение .В полярных координатах: , задача (1), (2) запишется в виде: ,(3)

(4)

Задачу (3), (4) решим методом разделения пер. Найдем все реш. ур-ния Лапласа (3) вида: (5).Подставив (5) в д.у. (3), получим равенство

Разделим это равенство на , отделяя ф-ции зависящ от и ф-ции зависящ от , тогда .

Выраж слева зависит только от , а справа - только от , поэтому это рав-во имеет место ó, когда эти выраж явл.постоян, т.е. где -постоянная разделения.

В результате получим два обыкновенных д. у.: , (6) .

Рассмотрим случай, когда . Общие реш ур(6)опред ф-ми: (7) ,где - произвольные постоянные.

Рассмотрим случай, когда Ур.(6) примут вид

Общие реш этих ур: , ,(8)где - произвольные постоянные.

После подстан. ф-ций (7), (8) в (5) получим частные реш ур-ния Лапласа в пол.коорд: (9) .

из смысла задачи (3), (4) решение должно быть периодическим по углу с периодом , т.е. . Усл периодичности для ф-ций (9) будет выполнено, если .В результате получим следующие частные решения д.у. (3):

, ;

(10)

Образуем общ реш д.у. (4.36) в виде лин комбинации частных реш (10): По смыслу зад Дирихле реш должно быть огранич в центре круга . Следовательно: В результ получим представление реш задачи (3), (4) в виде разложения в ряд (11)

Коэффициенты определим из граничного

условия (4). Подставляя (11) в (4), получим

. (12)

Разложим функцию в ряд Фурье ,(13)где (14)

Приравнивая ряды (12) и (13), вычисляем коэффициенты .

Подставив коэффициенты в разложение (11), получим решение исходной задачи Дирихле (1), (2):

(15)

Можно показать, что ряд (15) равномерно сходится.

Если подставить интегралы (14) в (15) и просуммировать ряды, то получим решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла: ,

называемого интегралом Пуассона.

Примеры некорректно поставленных задач Коши

1)Зад. Коши для гиперб. ур-ния с нач. усл. на хар-ке.

Рассм. зад. Коши:

на (1)

(2)

где .

Предпол., что зад. Коши (1), (2) имеем реш. , облад. непрер. смешанной произв. в области . Т.к. линия принадлежит области, то ДУ (1) должно выполн. на линии, т.е.

.

Учитывая второе условие (2), получ. необх. Усл. разрешимости зад. Коши (1), (2)

. (3)

Если усл. (3) не вып., то зад. (1), (2) не имеет решение.

Построим реш. зад. Коши (1), (2), предполагая, что усл. (3) выполнено. Воспольз. общим реш. (5.2) ДУ (1), где ф-ции определим из начальных условий.

Из 1-го нач. усл. получим, что

.

Положим .

Тогда второго нач. усл. получ., что

.

Учитывая усл. разрешимости (3), получим соотношение . Т.о. произв. ф-ция удовл. усл. , .

Общий вид такой функции

,

где произвольная функция ,

Т.о., получено реш. зад. Коши (1), (2) в виде:

,

к-рое не единственно в силу произвольности функции .

В итоге приходипм к выводу, что задача Коши (1), (2) поставлена некорректно, т.к. не вып. 1-е или 2-е усл. корректности из опр. (10.2).

2)Зад. Коши для параболического уравн. с нач. усл. на хар-ке.

Рассмотрим задачу Коши

на , (4)

, , (5)

Предпол., что классич. реш. зад. (4), (5) сущ. для обл. . Т.к. линия принадл. данной обл., то ДУ (4) должно выпол. и на линии, т.е.

.