Системы д.у в частн. производн.

Опр.1 Системой д.у с частн. произв. относит. неизвестн. ф-ий , ,буд наз. систему из ур-ий: (1)

Рассм. теперь сист. д.у с частн. произв. 1го порядка, стостоящ. из двух ур-ий, содерж. две неизвестн. ф-ии с 2мя незав.-ми перем-ми: (2)

В матричн. записи д.у (2) приним. вид , где матричн. д.оператор: ,

вектор-столбец ,

Для классиф. д.сист. (2) выделим ее главн. часть:

Далее поставим в соотв. главн. части д.сист. (2) характер. матр.:

и характ. многочлен: , где , ,

Классиф-ция д.сист. (2) приводится с помощью дискриминанта характ. многочлен по аналогии с классифик. д.у:

Пр.1 Рассм. аналитичн. ф-ию комплексн. перем-го эллиптич. сист. Коши-Римана

для которой характ. матр. ,характ. многочлен , а дискриминант .

1.Основные понятия о ду с частными производными. Рассмотрим n-мерное прос-о .Пусть область .Зададим на R ф-ю u=u(x),x=(x₁,…,x_n).

Опр1. Множество:1)m раз непрер-о диф-х на обл. функций обозначаем через ;2)любое число раз непр-о диф-их на обл. ф-ий обозначаем через ;3)аналитич. на обл. ф-ий обозн-ся через .Через ,

будет обозначать мн-о функций ,огранич. на обл. .

Опр2. Ду с частными произ-ми наз. соотношение , (1)

где х независимые переменные,u=u(x) незав. фун-я, ,…, ,…, .Число m порядок ду(1). Опр3.Классическим решением ду(1) на обл. наз. ф-ия u(x) ,обращающая ду (1) в тождество на . В дальнейшем,если не будет оговорено противное,классические реш. ду(1) будем наз. просто решениями.

В ду с частными произв.,в отличае от обыкнов. ду,произв. эл. общего реш.,т.е. решения,из которых получаются все частные решения явл. Не произв. постоянными, а произвольными функциями. В общем случае число произв. функций будет равно порядку ду.В случае ду с n неизв. Переменными произв. функции будут ф-ми n-1 переменных.Общее решение представленное в неявном виде,будет наз. общим интегралом ду.

Любое ду с частными произ-ми имеет бесконечное мн-о решений.Поэтому из выделения этого мн-а конкретного решения необходимы допол. условия. Краевые условия, заключ-ся в указании поведения решения на некоторой граничной линии или в её окр-ти.С этой точки зрения нач. условия представляют собой краевые условия во времени.Практически любая задача оприс. физ. процесс и сформулир. в терминах ду в частных произ-ых,включает в себя краевые условия.

Пример1. Краевое условие u(x,0)=φ(x) может интерпретир. Как заданное в нач. момент времени темпер-а распред. в стержне.

Пример2. Под условием Дирихле понимают задание функции u(x,y,t) в каждой точке границы области в начальный момент времени.В частности условие Дирихле в круге R=1 имеет вид u(r,φ)_r=R=f(φ),где r и φ есть полярные координаты точки (х,у), f(φ) заданные функции.

Пример3.Условие Неймана подразумевают задание нормальной компоненты градиента (∆u)_n в каждой точке границы.

Пример4.Условие Коши представляет собой сочитание условий Дирихле и условий Неймана и одноз. задание фун-ии (х,у,t) и проекции градиенты этой функции на нормаль в каждой точке границы в начальный момент времени.