Кинетическая энергия вращения

Любая движущаяся система обладает кинетической энергией.

¨ Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела на квадрат угловой скорости

.

Доказательство. Очевидно, что кинетическая энергия вращающегося тела (рис. 4.6)равна сумме кинетических энергий всех составляющих его материальных точек. Разбив твердое тело на элементарных объемов массой , движущихся со скоростями и расположенными на расстояниях от оси вращения , получим . Т.к. угловая скорость для всех точек тела одинакова, то и , где учтено, что — момент инерции -ой материальной точки.

¨ Кинетическая энергия катящегося тела (рис. 4.7) складывается из кинетических энергий поступательного движения центра масс и вращения

.

Здесь: — масса тела, — скорость центра масс, — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, — угловая скорость относительно центральной оси.

¨ Задача 6. На тело, имеющее ось вращения и момент инерции 2 кг×м², действуют две касательные силы Н и 4Н; м — плечо первой силы; м — второй силы (рис. 4.8); начальная угловая скорость тела =5рад/с. Время , с.

Задание 1. Определить угловое ускорение .

Решение. По второму закону Ньютона для вращательного движения: , где результирующий момент сил . Разность моментов объясняется тем, что вращает тело (рис. 4.8) против хода часовой стрелки, а — по ходу. По определению модули моментов (Н×м), (Н×м), поэтому (Н×м), угловое ускорение (рад/с²).

Задание 2. Определить угловую скорость и угол поворота в момент времени .

Решение. Вращательное движение тела равноускоренное. Для такого движения угловая скорость определяется по формуле , а угол поворота — как . В момент времени (с): (рад/с); (рад).

Задание 3. Определить момент импульса в моменты времени и с.

Решение. По определению момент импульса тела . В начальный момент времени (с): (кг×м²/с); в момент времени (с): (кг×м²/с). По основному закону динамики вращательного движения (Н×м), что совпадает с результатом задания 1.

Задание 4. Определить работу результирующего момента сил в интервале времени по формуле механической работы.

Решение. Механическая работа вращательного движения определяется как . В данном случае (Н×м), угол поворота за время (с) составляет (рад), получаем (Дж).

Задание 5. Определить кинетическую энергию и в моменты времени и .

Решение. Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле В момент времени : (Дж), в момент времени с: (Дж).

Задание 6. Определить работу результирующего момента сил в интервале времени по теореме о кинетической энергии.

Решение. Теорема о кинетической энергии: (Дж), что совпадает с результатом здания 4.

 

 

Таблица соответствия характеристик