Зональный метод расчета стационарного теплообмена в системе тел с диатермичной средой

Для определенности рассмотрим двумерную замкнутую систему тел (печь), как показано на рис. 9.1. Разобьем профиль печи на N зон, в пределах которых температуры, тепловые потоки и степени черноты считаем заданными (прямая задача). Требуется рассчитать результирующие тепловые потоки по зонам.

 

Рис. 9.1. Замкнутая геометрическая система тел

 

Для избегания путаницы в названиях различных видов тепловых потоков дадим их определение для i-й зоны [15]:

1. Поток собственного излучения

 

, (9.1)

 

где – степень черноты i-й зоны; – коэффициент излучения аб­солютно черного тела, равный ; – температура i-й зоны; . – площадь i-й зоны.

2. Поток отраженного излучения

 

, (9.2)

 

где – поток падающего излучения на i-ю зону.

3. Поток поглощенного излучения

 

. (9.3)

 

4. Поток эффективного (исходящего [13]) излучения

 

. (9.4)

 

5. Поток результирующего излучения

 

. (9.5)

 

или

. (9.6)

 

Основное отличие классического зонального метода от подобных методов в том, что он оперирует эффективными потоками и для его реализации больше подходит выражение (9.6) для расчета результирующих потоков. Основная задача: как связать и ? Известна связь через геометрический угловой коэффициент (Г.У.К.) – :

 

, (9.7)

 

где поток падающего излучения с j-й зоны на i-ю зону.

В этом случае

 

. (9.8)

и

. (9.9)

Здесь и можно отнести к справочным данным. В сложных геометрических системах (плавно изогнутые поверхности, произвольная ориентация поверхностей в пространстве и т.п.) Г.У.К. рассчитывают с использованием вероятностного метода Монте-Карло [12, 13]. К недостаткам метода можно отнести довольно значительную погрешность – 3-5 %, неэкономичность при попытке достичь приемлемой точности. Главное достоинство метода, которое доминирует над всеми недостатками – универсальность. В простых геометрических системах (взаимно параллельные и перпендикулярные плоские поверхности и т.п.), примером которых является рабочее пространство большинства промышленных печей, можно пользоваться стандартными аналитическими формулами [13, 14 и др.] для расчета Г.У.К.

Проанализируем выражение (9.9). Для определения необходимо знать при j = 1, 2,..., N. Поэтому, предварительно приходится составлять специальную систему уравнений для расчета . Это делается следующим образом. Выразим через потоки эффективного излучения других зон:

 

(9.10)

 

или

. (9.11)

 

Если уравнение (9.11) записать N раз, т.е. для каждой зоны, то получим систему из N линейных алгебраических уравнения относительно N неизвестных . В такой системе (Г.У.К.) рассчитываются предварительно, т.к. Г.У.К. зависят только от геометрии системы. также определяются предварительно, т.к. поток собственного излучения не зависит от , а зависит от температуры (9.1). Поэтому, систему уравнений типа (9.11) можно записать в матричной форме

 

, (9.12)

 

где А – матрица коэффициентов перед размером N х N; В – столбец-матрица свободных членов.

Элементы матрицы "А" вычисляются по формулам

 

. (9.13)

 

за исключением коэффициентов главной диагонали матрицы:

 

. (9.14)

 

Элементы матрицы "В" будут равны:

 

, (9.15)

 

Система (9.12) может быть решена одним из стандартных методов (метод исключения Гаусса и др.). Однако при многовариантных расчетах в одной и той же геометрической системе наиболее экономичным является метод обращения матрицы, Это связано с тем, что в расчетах изменяемой величиной обычно является температура, а матрица "А" не зависит от температуры. Согласно этому методу вычисляется, так называемая, обратная матрица

 

, (9.16)

 

элементы которой обозначим через

 

. (9.16)

 

С учетом (9.16) из выражения (9.12) в явном виде определяется поток эффективного излучения для любой зоны "j".

 

, (9.17)

или

, (9.18)

 

Найденные таким образом подставляются в выражение (9.9) для определения . На этом заканчивается решение прямой задачи излучения зональным методом, т.е. задачи нахождения результирующих тепловых потоков при известных температурах зон.

Обратная и смешанная задачи излучения решаются почти аналогично прямой задаче, но с небольшими отличиями. Эти задачи предполагают, что известны потоки результирующего излучения по отдельным или по всем зонам. Поэтому, в уравнения теплового баланса этих зон для определения надо ввести . Это делается следующим образом. Выразим из (9.6)

 

. (9.19)

 

Это выражение можно представить в виде

 

. (9.20)

 

При решении чисто обратной задачи излучения требуется решать систему из N уравнений, подобных (9.20) с N неизвестными . При решении смешанной задачи система включает уравнения (9.11) для зон, на которых задана температура, и уравнения (9.20) для зон, на которых заданы потоки результирующего излучения. Полученная система уравнений наиболее эффективно решается методом обращения матрицы.

После того, как найдены потоки эффективного излучения при заданных по зонам (обратная и смешанная задачи), можно определить температуру этих зон. Для этого сначала вычислим , исходя из (9.5)

 

. (9.21)

 

Теперь из (9.1) вычисляется

 

, (9.22)

 

На этом заканчивается решение обратной и смешанной задач излучения.