Интерпретация и анализ полученных результатов

Полученная таким образом систематизация губерний Европейской части России может дать объяснения тех революционных событий, которые начались с малоземельных губерний (Московская, Петербургская) и которые разрушили Российскую империю.

Действительно, если бедные губернии объединить с тяготеющими к бедным, то получим 62 % губерний по экономическому признаку количества десятин земли на душу относились к потенциально неблагополучным губерниям.

В таких условиях лозунг большевиков – «земля народу» был брошен на неблагополучную среду и привел к разрушительным последствиям для России.

Далее число бедных и богатых губерний оказалось равным, но в число неблагополучных губерний вышли густонаселенные Московская и Петербургская губернии, в которых, кроме того, была сосредоточена демократически настроенная интеллигенция и студенчество.

Из истории также известно, что в период гражданской войны (1917-1920г.г.) в России такая богатая губерния как Донская была оплотом казачества, которое активно сопротивлялось установлению Советской власти на этой территории.

 

Лабораторная работа № 18. Метод Эйлера приближённого интегрирования дифференциального уравнения у' = f (х,у).

 

Начало численным методам интегрирования задачи Коши дифференциальных уравнений было положено Л. Эйлером в 1768г. В дальнейшем метод Эйлера усовершенствовался и уточнялся. Основной недостаток этих методов – их невысокая точность. Метод Эйлера – одношаговый методы не требуют предварительного построения начала таблицы значений приближенного решения, что дает возможность проводить вычислительный процесс с естественными начальными условиями и переменным шагом...

Рассматриваемые методы приближенного интегрирования ДУ основаны на тождестве:

Пользуясь какой-либо квадратурной формулой для вычисления интеграла, получим различные формулы численного решения ДУ.

Метод Эйлера заключается в том, что интегральную кривую, проходящую через точку (х_оу_о), заменяют ломаной, каждое звено которой

проведено по направлению поля, определённого уравнением у' = f (х,у) в начальной точке этого звена. Иными словами, от предыдущей вершины ломаной к последующей двигаются по касательной к интегральной кривой, проведённой через начальную точку каждого звена.

Предположим, что нас интересует решение, отвечающее отрезку [х_о,b].

Разделим его на п равных частей

тогда ломаная Эйлера определится вершинами

(k= 0, 1, 2,..., п),

где , - шаг деления,

 

Расчёт ведётся по следующей схеме:

k
…..	…………	…………	………….	…………..
k
…..
n-1
n

С увеличением числа делений, т.е. с уменьшением шага h, последовательность ломаных Эйлера как угодно близко приближается к искомой интегральной кривой. Но при этом увеличивается время вычислений и возрастает погрешность за счет ошибок округления. На практике задачу решают несколько раз, постепенно уменьшая шаг до тех пор, пока отклонения вычисленных значений функции для одних и тех же значений аргумента не станут пренебрежимо малы с точки зрения вычислителя.

 

Пример. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии y(0)=0, шаг h = 0,1.

Ограничиться отысканием первых 10 значений y.

Ход работы.

1. Включите компьютер, нажмите кнопку Пуск , выберите программу Microsoft Excel.

2. В ячейку A1 введите значение 0.

3. Используя автозаполнение введите значения в ячейки А2 - А6.

 

 

4. В ячейки В1 – Е1 введите заголовки:

5. В ячейку В2 введите значение Х_0.

6. В ячейку В3 введите формулу =B2+0,1 и далее продолжите автозаполнением до ячейки В11, заданный шаг h=0,1.

7. В ячейку С3 введите значение y_0.

8. В ячейку С3 введите формулу =C2+0,1*(2*B2-C2) и далее автозаполнением до ячейки С11.

9. В меню Формат ячейки, на вкладке Число выберите Числовой формат, и кол-во знаков после запятой 2. Щелкните ОК.

10. В ячейке D2 вводим: =2*B2-C2 и делаем автозаполнение до D10.

 

 

11. В ячейке E2 вводим формулу: =0,1*(2*B2-C2) и делаем автозаполнение до E10

12. Выбираем Формат - Диаграммы. Выберите тип График с накоплением и нажмите Далее.

13. Укажите диапазон от C2 до C11 и ряды в столбцах.

14. Далее выбираем вкладку Ряд. Введите в поле Подписи оси X промежуток от B2 до B11. Нажмите Далее.

15. Сделайте все необходимые подписи к диаграмме. Нажмите Далее.

16. Нажмите Готово.

 

17.
Для повышения точности расчета уменьшим шаг вычислений. Выполните пп. 1-15 с заданным шагом

Вычисления проводить в ячейках, начиная с F1. Постройте график.

Найдем точное решение данного уравнения:

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Общее решение линейного однородного уравнения:

получается разделением переменных

Где С – произвольная постоянная.

Общее решение неоднородного уравнения находим, исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая:

где С(x) – некоторая, дифференцируемая функция от x.

Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Используя начальное условие y(0) = 0, получим:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

. (*)

График точного решения имеет вид:

Для построения графика точного решения в ячейку Е2 введите формулу (*), используйте автозаполнение. По данным столбца Е постройте график, сравните приближенное решение дифференциального уравнения с точным.

 

По таблице 1 сравните приближенное значение функции y с точным решением в зависимости от величины шага h.

 

Таблица 1.

 

 

Задание

Задача 1. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии y(0)=1

шаг h=0,1; 0,05.

Задача 2. Методом Эйлера найти 10 значений функции y, определяемой уравнением y`=x+y, при начальном условии y(0)=1, полагая h=0,1; 0,05.

Задача 3. Методом Эйлера найти 10 значений функции y, определяемой уравнением , при начальном условии y(0)=1, полагая h=0,1; 0,05.

Задача 4. Методом Эйлера найти 10 значений функции y, определяемой уравнением , при начальном условии y(0)=0, полагая h=0,1; 0,05.

Задача 5. Методом Эйлера найти численное решение уравнения при начальном условии y(2)=4, полагая h=0,1; 0,05.

Задача 6. Методом Эйлера найти численное решение уравнения на отрезке [0,1] при начальном условии y(0)=1, полагая h=0,2;0,1.

 

 

Список литературы

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов. - М.: Физматлит, 1994. - 320 с. (семестр 1, лекция 1-6)

2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 544с. (семестр 1, лекция 7-8)

3. Бубнов В.А. Решение логических задач с помощью операций алгебры Жегалкина. Сб. Информационные технологии в предметной области. Вып. 1/ Отв. ред. проф. Бубнов В.А. _ М.: МГПУ, 2002. - с.5-16 (Семестр 1, лекция 9-10)

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. СПб.: Издательство "Лань", 1997. - 608с. (Семестр 1, лекция 11-12, 15-17, семестр III, лекции 1-13)

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. СПб.: Издательство "Лань", 1997. - 800с. (Семестр 1, лекция 16-17, семестр III, лекции 2-4)

6. Малькин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 352 с. (Семестр 1, лекция 13)

7. Атанасян С.Л. Геометрия: Учебное пособие, ч 1,2. М.: МГОПИ, 1993. (Семестр 2, лекция 3-5, 7-8, 10-11)

8. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. -М.: ФИзматлит,1975. - 336с. (Семестр 2, лекция 3-4, 13-16)

9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Уч. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1977. -340с. (Семестр 4, лекции 5-17)

10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1, 2. Уч. пос. для ВТУЗов. 5 изд., испр. М.: Высш. шк., 1996. (Пособие для практических занятий)

11. Бубнов В.А., Мелещеня И.Н. Высшая математика. Программа и методические указания для студентов экономического факультета, обучающихся по специальности 061100 «менеджмент организации» Под ред. В.А. Бубнова. – М.: МГПУ 2005. 225с.

 

Дополнительная литература

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Изд. "Наука", 1966 -912с.

2. Абчук В.А. Экономико-математические методы. СПб.: Союз, 1999 -320с.

3. Фомин Г.П. Математические методы и модели в комерческой деятельности: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2001. 544с.

4. Малыхин В.И. Математика в экономике: учебное пособие. - М.: ИНФРА-М. 2002. -352с.

 

Программа: 2

Учебный план. 8

Приложение 1. 14

Домашнее задание № 1. Определители. 14

Домашнее задание №2 Матрицы и операции над ними. 18

Домашнее задание №3. Системы линейных алгебраических уравнений. 27

Домашнее задание №4 Область определения. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал. 34

Домашнее задание №5. Производные и экстремумы функций. 36

Домашнее задание №6. Теория множеств. 37

Домашнее задание №7. Математическая логика. 40

Домашнее задание №8. Теория вероятности и математическая статистика. 42

Домашнее задание №9. Сетевое планирование и управление. 44

Домашнее задание №9. Линейное программирование. 50

Приложение 2. 52

Семестр I. 52

Лабораторная работа №1. Макрокоманды программы Microsoft Excel 2003. 52

Лабораторная работа №2. Определители 3-го порядка и их вычисление. 79

Лабораторная работа №3. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любой строки. 85

Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца. 90

Лабораторная работа №5. Словесные алгоритмы линейной алгебры и их реализация в программе Excel. 94

Лабораторная работа №6. Вычисление ранга матрицы. 99

Лабораторная работа №7. Умножение матриц. 104

Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы. 110

Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера. 116

Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде. 120

Лабораторная работа № 11. Решение систем линейных уравнений. 123

с четырьмя неизвестными методом Гаусса. 123

Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора. 127

Лабораторная работа № 13. Логические задачи в алгебре Буля. 133

Лабораторная работа № 14. Логические задачи в алгебре Жегалкина. 146

Лабораторная работа № 15. Нахождение корней уравнения f(x)=0. 156

Лабораторная работа № 16. Задачи линейного программирования. 167

Семестр II. 174

Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей. 174

Лабораторная работа № 6. Численное дифференцирование степенной функции. 186

Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона. 196

Лабораторная работа№16. Закон устойчивости частот. 203

Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями 215

Лабораторная работа № 18. Метод Эйлера приближённого интегрирования дифференциального уравнения у' = f (х,у). 228

Список литературы.. 233

Дополнительная литература. 234